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Quali sono in Matematica i significati di questo termine? Ho provato a cercare online ma senza risultati. Spero che qualcuno possa chiarire il mio dubbio, grazie.

Di solito quando hai tante forme equivalenti per esprimere la stessa cosa significa scegliere una "forma normale", cioè una standard da preferire alle altre. Con significato simile si usa anche dire "normalizzare un vettore", cioè trovare un multiplo di un vettore dato che abbia norma 1.

Un altro esempio di "normalizzare".

Metti che vuoi dimostrare la disuguaglianza, per a,b,c reali positivi:
$ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b + b^3c + c^3a) $

Siccome (a,b,c) soddisfa l'uguaglianza se e soltanto se (ka,kb,kc) la soddisfa, basta dimostrare la disuguaglianza quando $ ~ a+b+c=1 $, oppure quando $ ~ a^2+b^2+c^2=1 $, oppure quando $ ~ ab+bc+ca + \sqrt{abc}^2 = 1 $... sono delle ipotesi che possiamo aggiungere senza creare danni.

Benissimo,siete stati sufficientemente esaurienti, vi ringrazio per avermi risposto.

Non ho ben capito l'esempio di edriv, qualcuno che sia così gentile da rispiegarlo?
Grazie

in generale normalizzare vuol dire che poni la norma pari a 1, ovvero poni $ ~f(\bar{x})=1 $ ove $ ~\bar{x}=(x_i) $ e $ ~f : \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R} $ funzione opportuna

esempi di normalizzazione sono le funzioni di probabilita' o di distribuzione che vengono appunto normalizzate (il loro integrale su tutto il dominio deve essere pari a 1)

nel caso di edriv $ ~\bar{x}=(a,b,c) $
appunto dato che se l'equazione vale per $ ~\bar{x} $ vale anche per $ ~\bar{x}'=k\bar{x} $, ti ritrovi ad avere un grado di liberta' in piu' che puo usare per imporre una particolare normalizzazione: puo' essere porre $ ~a=1 $ (ovvero $ ~k=\frac 1a $), oppure una delle proposte da edriv

edriv ha scritto:oppure quando $ ~ ab+bc+ca + \sqrt{abc}^2 = 1 $...

Un momento... Ma a sinistra non ci andrebbe un polinomio omogeneo? Cioè, in questo caso k quanto varrebbe?
Evidentemente volevi scrivere $ ~ ab+bc+ca + (\sqrt[3]{abc})^2 = 1 $ o qualcosa del genere...
@Laplace89: In definitiva, se l'ipotesi che aggiungi è un'equazione con un polinomio, questo deve essere (secondo me) omogeneo,
altrimenti uno che verifica la tua soluzione deve risolversi un'equazione completa in k che non è detto abbia soluzioni...
E anche se è omogeneo, non puoi fare proprio quello che ti pare... ad es. nel problema di edriv non puoi porre $ ~ab+bc+ca=-1 $
L'alternativa è esplicitare il valore di k in funzione delle variabili della disequazione...

non devi avere una equazione omogenea.
ad es a=1 non e' omogenea ma e' una comune normalizzazione per le sol di una eq omogenea. Trvata la sol del tipo (1,b,c) hai trovato tutte le altre.

Sta di fatto che non si capisce il senso di quel $ ~{\sqrt{\ }}^2 $.

SkZ ha scritto:non devi avere una equazione omogenea.
ad es a=1 non e' omogenea

Certo, io mi riferivo al polinomio a primo membro (in questo caso "a").
Volevo dire che non credo si possano imporre cose del tipo $ \displaystyle~ab^2+c=1 $

kn ha scritto:

SkZ ha scritto:non devi avere una equazione omogenea.
ad es a=1 non e' omogenea

Certo, io mi riferivo al polinomio a primo membro (in questo caso "a").
Volevo dire che non credo si possano imporre cose del tipo $ \displaystyle~ab^2+c=1 $

Mah anche sì credo. Le cose le fai in questo modo:
1) se la disuguaglianza è omogenea, puoi scrivere ka, kb, kc al posto di a,b,c e poi dimostrarla per un solo valore di k
2) la funzione vincolo vale 0 per k=0 e infinito per k=infinito, quindi c'è un valore di k per cui vale 1
3) dimostri la disuguaglianza per quel k e hai vinto.

Cosa vuol dire che hai un'equazione omogenea? Che hai famiglie di soluzioni dipendenti da un parametro. Basta trovare per ogni famiglia un elemento e poi moltiplicando/dividendo per un intero non nullo (se possibile) hai tutte le altre.
Quindi per trovare la famiglia per semplicita' imponi una certa restrizione e cerchi l'elemento corrispettivo. Ovviamente la restrizione deve essere sensata e di aiuto.
Se la restrizione fa annullare un denominatore o rende negativo un radicando ovviamente non va bene.

attenzione: non e' detto che una normalizzazione possa essere universale in generale o per quell'equazione.
Un esempio e' $ ~a,b,c\in\mathbb{N} : a^2+b^2=c^2 $: equazione omogenea con $ ~\aleph_0^2 $ famiglie di soluzioni
qui di solito si impone la "normalizzazione" $ ~(a,b)=1 $, ma anche no
in questa situazione porre $ ~a=1 $ porta a poco (sono interi e nulla impone che b e c siano multipli di a)