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Determinare tutte le coppie ordinate di interi m,n per i quali si ha, essendo p un primo:
$ \frac{1} m + \frac{1} n = \frac{1} p $ [1]

m, n devono essere numeri maggiori di p e dunque possono essere scritti rispettivamente come p+a, p+b. In questo modo il problema si risolve velocemente ed è anche la soluzione ufficiale.

Ma se io scrivo: $ m+n = \frac{mn} p $ allora p deve dividere m (m=kp) oppure n, oppure entrambi. (Cioè voglio risolvere il problema esprimendo m,n come multiplo di p)
Trovo le soluzioni giuste solo nel terzo caso quando m = kp e n = yp e sostituisco questi valori nella [1], per i due primi casi invece non riesco a trovare le soluzioni esatte sopratutto perchè non so come esprimere n quando m = kp e viceversa.

Chi è che ha voglia di dare la caccia al mio errore ? ma non vi spaventate se lo trovate...dev' essere una bestia enorme !!

Supponiamo che solo uno dei due numeri sia divisibile per $ p $
Poni ad esempio
$ m=kp $
e hai
$ kp+n=\frac{kpn}{p} $
perciò
$ kp+n=kn \implies kp=n(k-1) \implies \frac{kp}{k-1}=n $
Siccome $ p $ è primo, e del resto un numero non divide il suo successivo salvo il caso di 1, ti accorgi che deve essere o
$ k-1|k $ e ciò avviene solo se $ k=2 $ da cui $ m=2p $
oppure
$ k-1=p $ da cui $ m=p^2+p $
Trovi i corrispondenti valori di $ n $ sostituendo i valori di $ m $ trovati.

Forse non ho colto bene il tuo dubbio, fammi sapere
Ciao.

Forse non ho colto bene il tuo dubbio, fammi sapere
Ciao.

Perfetto! hai spiegato benissimo e ho capito!
Non riuscivo proprio a scoprire cosa significava $ \frac{kp} {k-1} = n $
Grazie, ciao!

Prego
Buon proseguimento