Disuguaglianza triangolo pedale e ceviale (da mathlinks)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

In untriangolo equilatero, preso un punto P interno, l'area del triangolo pedale di P è maggiore o uguale dell'area del triangolo ceviano di P.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Siccome nessuno risponde do' una dritta

chiamiamo $ x: y: z $ le coordinate trilineari di P e prendiamo $ AB=1 $

come noto l'area del triangolo pedale è

$ \displaystyle A_1 = \frac {xy + yz + xz}{(x + y + z)^2} A^3 $

mentre quella del triangolo ceviano è

$ \displaystyle A_2 = \frac {2xyz}{(x + y)(x + z)(y + z)} A $

quindi la disuguaglianza diventa:

$ \displaystyle \frac {3}{8}\ \frac {xy + yz + xz}{(x + y + z)^2} \ge \frac {xyz}{(x + y)(x + z)(y + z)} $

che lascio risolvere a voi