4^n+2^n+1 - Primi e potenze di 3
4^n+2^n+1 - Primi e potenze di 3
Se $ 4^n+2^n+1 $ è un numero primo, allora $ n $ è una potenza di $ 3 $.
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darkcrystal
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- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Ma come, nessuno risponde ad un così bel problema di TdN?
Allora provvedo subito!
Primo: chiamiamo $ f(n)=4^n+2^n+1=\frac{2^{3n}-1}{2^n-1} $
Ora, $ f(a) $ moralmente divide $ f(ab) $ (moralmente $ \Leftarrow 3 \not | b $). Perchè? Beh, $ \frac{f(ab)}{f(a)}=\frac{2^{3ab}-1}{2^{3a}-1} \cdot \frac{2^a-1}{2^{ab}-1} $. Chiamiamo $ x=2^a $ e notiamo che quanto sopra si scrive allora $ \frac{x^{3b}-1}{x^b-1} \cdot \frac {1}{x^2+x+1}=\frac{x^{2b}+x^b+1}{x^2+x+1} $. Se ora b è coprimo con 3, il polinomio di sopra (si, li vedo momentaneamente come polinomi) ha come radici (anche) quelle del polinomio di sotto, dunque il loro rapporto è un polinomio a coefficienti interi, e tornando agli interi il loro rapporto è un certo $ p(2^a) $, con p(x) a coefficienti interi, e dunque è intero.
Ciò stabilito, chiediamoci per quali $ n $ si ha che $ f(n) $ è un primo.
1) Se n non ha fattori 3, allora n=1*n e $ 7 = f(1) | f(1*n)=f(n) $, per cui l'unico n buono è 1 (che comunque è una potenza di 3)
2) Se n ha uno (o più) fattori 3, $ n=r \cdot 3^a $, allora $ f(3^a)|f(3^ar) $, ma RHS è primo, dunque LHS=1 (assurdo) o LHS=RHS, da cui r=1, cioè n è una potenza di 3, c.v.d.
Se non si capisce - probabile - chiedete!
Ciao!
Allora provvedo subito!
Primo: chiamiamo $ f(n)=4^n+2^n+1=\frac{2^{3n}-1}{2^n-1} $
Ora, $ f(a) $ moralmente divide $ f(ab) $ (moralmente $ \Leftarrow 3 \not | b $). Perchè? Beh, $ \frac{f(ab)}{f(a)}=\frac{2^{3ab}-1}{2^{3a}-1} \cdot \frac{2^a-1}{2^{ab}-1} $. Chiamiamo $ x=2^a $ e notiamo che quanto sopra si scrive allora $ \frac{x^{3b}-1}{x^b-1} \cdot \frac {1}{x^2+x+1}=\frac{x^{2b}+x^b+1}{x^2+x+1} $. Se ora b è coprimo con 3, il polinomio di sopra (si, li vedo momentaneamente come polinomi) ha come radici (anche) quelle del polinomio di sotto, dunque il loro rapporto è un polinomio a coefficienti interi, e tornando agli interi il loro rapporto è un certo $ p(2^a) $, con p(x) a coefficienti interi, e dunque è intero.
Ciò stabilito, chiediamoci per quali $ n $ si ha che $ f(n) $ è un primo.
1) Se n non ha fattori 3, allora n=1*n e $ 7 = f(1) | f(1*n)=f(n) $, per cui l'unico n buono è 1 (che comunque è una potenza di 3)
2) Se n ha uno (o più) fattori 3, $ n=r \cdot 3^a $, allora $ f(3^a)|f(3^ar) $, ma RHS è primo, dunque LHS=1 (assurdo) o LHS=RHS, da cui r=1, cioè n è una potenza di 3, c.v.d.
Se non si capisce - probabile - chiedete!
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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