primi o due?

[jordan]

per ogni intero $ p>0 $, siconsideri la seguente successione definita per ricorrenza:
i)$ p_0=p $
ii)$ p_{n+1}=2p_n+1 $
stabilire se è possibile scegliere p in modo che $ p_n $ sia primo per tutti gli $ n $ sufficientemente grandi (cioè per ogni $ n \ge n_0 $, per qualche intero $ n_0>0 $ opportunamente scelto)

[darkcrystal]

Ora, da una parte non vorrei essere linciato dai moderatori, dall'altra non ti risponde mai nessuno e metti tenerezza ... l'aurea mediocritas suggerisce di postare in bianco!

Direi proprio di no.
Risolta la relazione per ricorrenza segue p_n=-1+2^{n-1}(p+1).
Distinguiamo ora due casi. O p ha un fattore p' primo diverso da due (I) oppure no (II)

(i) Consideriamo p_n \pmod {p'} \Rightarrow (p+1)2^{n-1}-1 \pmod {p'}. Se p_n fosse primo per tutti gli n maggiori di un certo n_0, allora p_n \not \equiv 0 \pmod {p'} per questi stessi n. Ma da quanto scritto sopra questa è equivalente a (p+1)2^{n-1}-1 \not \equiv 0 \pmod {p'} \Leftrightarrow 2^{n-1} \not \equiv 1 \pmod {p'} per ogni n, che è chiaramente assurdo (2 avrà un ordine moltiplicativo, modulo questo benedetto primo!)

(ii) Facciamo praticamente lo stesso ragionamento, ma solo mod 5 e mod 3. Se p=2^a, e a è pari, allora periodicamente p_n \equiv 0 \pmod 3. In caso contrario a è dispari, ma allora p_n è periodicamente 0 modulo 5 (questi sono solo conti).

p.s. Bel problema, m'è piaciuto!

[jordan]

be con questo problema e quello dell'induzione giapponese concordo pienamente in bianco, volevo ringraziarti comunque che hai risposto(soluzione giusta come sempre); almeno c'è qualcuno che li apprezza
ciao da