quant'è ottuso quest'angolo!

[salva90]

In un triangolo acutangolo G è il baricentro, I l'incentro e H l'ortocentro. Provare che l'angolo GIH è ottuso.


ps: qualcuno avrà capito, ormai, che la tesi segue da shur

suvvia vediamo cosa salta fuori che poi posterò la mia soluzione, completamente atipica

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

w.l.o.g. a>b>c (con a=b o a=c o b=c i punti sono allineati e con a=b=c coincidono)

D, E, F i piedi delle bisettrici da A, B, C e chiamiamo J la proiezione di G su BH e K la proiezione di G su AH.
Vogliamo dimostrare che I sta all'interno del quadrilatero GKHJ, se così fosse sarebbe anche all'interno della sua crf circoscritta, ovvero la crf di diametro GH e quindi l'angolo sarebbe maggiore di 90.
$ IK \parallel AB $ e $ IJ \parallel BC $, inoltre è chiaro che l'incentro sta all'interno dell'angolo $ \angle JHK $ (per angoli delle altezze e delle bisettrici).
Rimane da dimostrare che $ \frac{CI}{IF}>2 $ e $ \frac{AI}{ID} < 2 $
ma $ \frac{CI}{IF} = \frac{CA}{AF} > $$ \frac{2b}{c} > 2 $ e $ \frac{AI}{ID} = \frac{AB}{BD} = \frac{b+c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} < 1 + 1 =2 $

[salva90]

Visto che gabriel, contravvenendo alla mia richiesta di non rispondere ai miei problemi in geometria, ha già postato, metto anche la mia soluzione: tecnica, lunga, brutta, ma a mio avviso istruttiva. E poi come dice qualcuno è preferibile che un problema sia corretto, piuttosto che elegante...

Dunque, mettiamo l'origine nel circocentro ed assumiamo senza perdita di generalità che il circoraggio sia R=1. Allora si ha

$ \displaystyle G=\frac{A+B+C}{3} $

$ \displaystyle H=A+B+C $

$ \displaystyle I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c} $

L'angolo cercato è ottuso se e solo se il suo coseno è negativo, ossia se $ IG\cdot IH<0 $.

La tesi equivale quindi a

$ (G-I)\cdot(H-I)<0 $

$ \displaystyle\left(\sum_{cyc}\frac{(b+c-2a)A}{3(a+b+c)}\right)\left(\sum_{cyc}\frac{(b+c)A}{a+b+c}\right)<0 $

$ \displaystyle\left(\sum_{cyc}(b+c-2a)A\right)\left(\sum_{cyc}(b+c)A\right)<0 $

$ \displaystyle\sum_{cyc}(b+c-2a)[(b+c)A\cdot A+(a+c)A\cdot B+(a+b)A\cdot C]<0~~~(1) $

Poichè il triangolo è acutangolo valgono le seguenti relazioni:

$ A\cdot A=B\cdot B=C\cdot C=R^2=1 $

$ A\cdot B=R^2\cos 2\gamma=1-2\sin^2\gamma $ e cicliche

Inoltre si ha che

$ a=2R\sin\alpha=2\sin\alpha $ e cicliche

Introducendo queste relazioni nella (1) e svolgendo i calcoli (che vi risparmio perchè sono brutti e lunghi) si ottiene

$ \displaystyle\sum_{cyc}\left(\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\sin\beta\sin\gamma -2\sin^2\alpha\sin^2\beta\right)>0 $

Che ricorda abbastanza da vicino questa