$ f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 $.
Specifichiamo va! Anche $ y \in \mathbf{R} $
.Funzionale dalla Zawody Matematyczne CZE–POL–SVK
Funzionale dalla Zawody Matematyczne CZE–POL–SVK
Trovare tutte le funzioni $ f: \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R} $ tali che
$ f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 $.
Specifichiamo va! Anche $ y \in \mathbf{R} $ .
$ f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 $.
Specifichiamo va! Anche $ y \in \mathbf{R} $
.
Posso provarci anche io, per quanto fuori età? 
Ponendo $ y=0 $ si trova:
$ f(x^2) + f(f(x)) = 2f(f(x)) $ da cui subito $ f(x^2)=f(f(x)) $.
A questo punto ponendo $ y=f(x)-x^2 $ si trova:
$ f(f(x)) + f(x^2) = 2f(f(x)) + 2{(f(x)-x^2)}^2 $, da cui ricordando la prima relazione trovata si trova facilmente che:
$ {(f(x) - x^2)}^2 = 0 $, che implica $ f(x)=x^2 $, questo per ogni $ x \in \mathbb{R} $.
Ponendo $ y=0 $ si trova:
$ f(x^2) + f(f(x)) = 2f(f(x)) $ da cui subito $ f(x^2)=f(f(x)) $.
A questo punto ponendo $ y=f(x)-x^2 $ si trova:
$ f(f(x)) + f(x^2) = 2f(f(x)) + 2{(f(x)-x^2)}^2 $, da cui ricordando la prima relazione trovata si trova facilmente che:
$ {(f(x) - x^2)}^2 = 0 $, che implica $ f(x)=x^2 $, questo per ogni $ x \in \mathbb{R} $.
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