Bellaz ha scritto:Sicuramente è sbagliato, ma per caso la risposta è 3??
be' se provi con $ 2\cdot 3 \cdot 5^2, 2^2\cdot 3^2 \cdot 5^2, 2\cdot 3^2 \cdot 5^2 $ vedi che non va
.
Io ho risolto così:
[EDIT] dimostrazione riscritta[/EDIT]
Definiamo $ P_i $ l'insieme dei numeri primi che dividono $ i $.
dalle tre relazioni abbiamo che $ P_A \subseteq P_B \land P_B \subseteq P_A \land P_C \subseteq P_A $ $ \Rightarrow P_A = P_B = P_C $.
quindi possiamo scrivere $ a, b, c $ come:
$ a = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} $
$ b = p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{b_k} $
$ c = p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{c_k} $
sempre dalle relazioni otteniamo che $ a_i \le 3b_i \land b_i \le 3c_i \land c_i \le 3a_i $
da cui $ \displaystyle \frac{max\{a_i,b_i,c_i\}}{min\{a_i,b_i,c_i\}} \le 3 $ (basta notare che il sistema è simmetrico rispetto a a_i,b_i,c_i e poi sostituire a una n e a un'altra 3n+1 e vedere che non va bene.)
detto $ x_i := min\{a_i, b_i, c_i\} $
sappiamo che nel prodotto $ abc $, l'esponente di $ p_i $ potrà essere massimo $ 7x_i $. Ma quindi ci troveremo un fattore $ p_i^{7x_i} $ a sinistra, e un $ p_i^{x_in} $ a destra, da cui $ n \geq 7 $ (credo
)
ok così ho dimostrato che con $ n \geq 7 $ va bene... ma non che sia il minimo.
be' facciamola così:
$ a = 2, b = 2^3, c = 2^3 $
così viene: $ 2^7 | 2^n(2^3+1) $ Il secondo termine a destra è chiaramente dispari, quindi $ 2^7|2^n $ da cui si vede che $ n \le 6 $ non puo' andare (vale quindi da controesempio per i valori di n minori.
quindi $ n = 7 $ è il minimo.[]
(che belle le due quadre alla fine
)
