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Siano $ a,b,c,d \in N $ tali che $ abc \ge 300 $.

Trovare le soluzioni di $ \displaystyle \frac{abc}{2^a+2^b+2^c}=d $.

un caro saluto a eucla

jordan ha scritto:Siano $ a,b,c,d \in N $ tali che $ abc \ge 300 $.

Trovare le soluzioni di $ \displaystyle \frac{abc}{2^a+2^b+2^c}=d $.

un caro saluto a eucla

Non esistono soluzioni.

Osserviamo che il denominatore è generalmente maggiore del numeratore; visto che a noi serve un caso in cui $ N \geq D $, proviamo a minimizzare il denominatore.

Notiamo che $ \displaystyle 2^a + 2^b + 2^c \geq 3 \cdot 2^{\frac{a+b+c}{3}} $. Infatti ponendo $ 2^a = x $, $ 2^b = y $, $ 2^c = z $ per AM-GM si vede che $ \displaystyle x+y+z \geq 3 \cdot \sqrt[3]{xyz} $.

Poniamo che il denominatore sia $ \displaystyle 3 \cdot 2^{\sqrt[3]{abc}} $ (che è sempre minore o uguale a $ \displaystyle 3 \cdot 2^{\frac{a+b+c}{3}} $ di nuovo a causa di AM-GM).

Dimostriamo che, per $ abc \geq 300 $, $ abc < \displaystyle 3 \cdot 2^{\sqrt[3]{abc}} $. Ponendo $ abc = 300 $ la disequazione è verificata e poiché una funzione esponenziale (con base maggiore di 1) cresce più velocemente di una funzione lineare, la disequazione è sempre verificata per $ abc \geq 300. $[]

Ehm, la tua ultima affermazione a proposito di esponenziali e funzioni lineari non è sbagliata, ma non ti permette di concludere:
$ f(x)=e^x $
$ g(x)=2x+1 $
ora,
$ g(-1/3)=1/3 $ è minore di $ f(-1/3)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{e}} $, ma la disuguaglianza $ g(x)\leq f(x) $ non è vera per tutte le x maggiori di -1/3, infatti
$ g(1/3)=5/3 $ è maggiore di $ f(1/3)=\sqrt[3]{e} $
Del resto, quella disuguaglianza è vera prima o poi , ovvero esiste un M tale che, se x è maggiore di M, allora vale $ f(x)\geq g(x) $, ma non è detto che se vale per un valore vale per i successivi.

Ad esempio, nel nostro caso, il valore M=2 va bene, ma per dimostrarlo serve un pochino di analisi oppure, se si è interessati solo ai valori sugli interi (come nell'esercizio), un'induzione.

EvaristeG ha scritto:Ehm, la tua ultima affermazione a proposito di esponenziali e funzioni lineari non è sbagliata, ma non ti permette di concludere:
$ f(x)=e^x $
$ g(x)=2x+1 $
ora,
$ g(-1/3)=1/3 $ è minore di $ f(-1/3)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{e}} $, ma la disuguaglianza $ g(x)\leq f(x) $ non è vera per tutte le x maggiori di -1/3, infatti
$ g(1/3)=5/3 $ è maggiore di $ f(1/3)=\sqrt[3]{e} $
Del resto, quella disuguaglianza è vera prima o poi , ovvero esiste un M tale che, se x è maggiore di M, allora vale $ f(x)\geq g(x) $, ma non è detto che se vale per un valore vale per i successivi.

Ad esempio, nel nostro caso, il valore M=2 va bene, ma per dimostrarlo serve un pochino di analisi oppure, se si è interessati solo ai valori sugli interi (come nell'esercizio), un'induzione.

Sì hai ragione, ho pensato a quello che hai detto ma mi è rimasto nella tastiera...
Quando ho un po' di tempo formalizzo, in effetti così è troppo intuitivo

Il resto va bene? Non sono molto pratico, ma mi sembrava quadrasse...

si va bene cosi, in effetti all'inizio avevo messo $ 7^3 $ per evitare le discussioni