Disuguaglianza radiciosa

[EUCLA]

Siano dati $ a,b,c,d \in \mathbb{R^{+}} $ tali che $ a^2+b^2+c^2+d^2=1 $.

Provare che $ \sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}+\sqrt{1-d} \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} $.


Da Mathematical Reflections

[darkcrystal]

Ho una soluzione... ma non è particolarmente olimpica. La posto comunque, in attesa che qualcuno ne trovi una seria!
Per due AM-QM, RHS non supera $ 2 \sqrt 2 $.
Per quel che riguarda LHS, usiamo i moltiplicatori di Lagrange per ottenere un sistema che contiene 4 equazioni del tipo $ \lambda=\frac{1}{4a\sqrt{1-a}} $ e il constraint.
Per il teorema di Fermat, i massimi/minimi devono stare sui bordi/punti di non derivabilità (che però non ci interessano, perchè quando una delle variabili è 0 o 1 ci si riduce rispettivamente alla medesima disuguaglianza in 3 variabili, o ad una cosa banalmente vera) oppure in punti che siano soluzioni del sistema.
Ora, siccome la funzione $ \frac{1}{4a\sqrt{1-a}} $ decresce su $ (0,\frac23] $ e dopo cresce fino a 1, se due dei nostri 4 reali, diciamo a e b, appartengono entrambi a $ (0,\frac23] $ o entrambi a $ (\frac23,1) $, da $ f(a)=\lambda=f(b) $ segue a=b. In altri termini, può essere solo
a=b=c=d
a=b=c;d
a=b;c=d
(a;b=c=d che è uguale al secondo)
e in ognuno di questi casi abbiamo una disuguaglianza in realtà ad una sola variabile (perchè è facile esprimere l'una in funzione dell'altra), con cui verifichiamo facilmente che $ LHS \geq 2\sqrt2 $

Mi rendo conto del fatto che non è olimpica e nemmeno una soluzione completa... ma intanto ravvivo un po' il topic!
Tra l'altro, qualcuno che capisca di queste cose mi potrebbe dire se tutto quello che ho scritto è corretto? Non sono molto abituato ad usare i moltiplicatori...
Grazie, ciao!

[jordan]

qualcuno che capisca di queste cose mi potrebbe dire se tutto quello che ho scritto è corretto?

be, allora non credo proprio che potrei rispondere, comunque ho rifatto i conti e confermo che sono giusti..pero cosi dimostri solo che solo punti stazionari, non di minimo (per i quali occorrono le condizioni del secondo ordine). poi cos'è il constraint?

ad ogni modo, visto che ci sei..prova a imporre $ a=\sin^2{\alpha} $..

[FeddyStra]

poi cos'è il constraint?

Condizione, vincolo. In questo caso $ a^2+b^2+c^2+d^2=1 $.