$ \displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2 $
buon lavoro
x^3+y^3=x^2+y^2
x^3+y^3=x^2+y^2
trovare tutte le coppie $ (x,y) \in Q^2 $ t.c.:
$ \displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2 $
buon lavoro
$ \displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2 $
buon lavoro
The only goal of science is the honor of the human spirit.
È un pò che non posto una soluzione! 
La soluzione banale è $ x=y=0 $.
Supponiamo poi che entrambi $ x,y> 1 $.
In tal caso però il LHS cresce più del RHS → assurdo.
Caso inverso se fossero $ x,y<1 $.
Supponiamo per simmetria che sia $ x\ge 1, y\le 1 $ e facciamo un cambio di variabile $ y=\displaystyle \frac{1}{z} $, dato che la soluzione banale la si può escludere.
$ x^3+\displaystyle \frac{1}{z^3}=x^2+\frac{1}{z^2} $
$ x^3z^3+1=x^2z^3+z $
$ x^3z^3+1=z(x^2z^2+1) $
Allora $ z\vert $LHS $ \rightarrow z=y=1 $. ← ORRORE, NON È VERO! (leggi post dopo)
Le soluzioni sono dunque $ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) $.
Ciao!
La soluzione banale è $ x=y=0 $.
Supponiamo poi che entrambi $ x,y> 1 $.
In tal caso però il LHS cresce più del RHS → assurdo.
Caso inverso se fossero $ x,y<1 $.
Supponiamo per simmetria che sia $ x\ge 1, y\le 1 $ e facciamo un cambio di variabile $ y=\displaystyle \frac{1}{z} $, dato che la soluzione banale la si può escludere.
$ x^3+\displaystyle \frac{1}{z^3}=x^2+\frac{1}{z^2} $
$ x^3z^3+1=x^2z^3+z $
$ x^3z^3+1=z(x^2z^2+1) $
Allora $ z\vert $LHS $ \rightarrow z=y=1 $. ← ORRORE, NON È VERO! (leggi post dopo)
Le soluzioni sono dunque $ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) $.
Ciao!
Ultima modifica di EUCLA il 18 mar 2008, 19:11, modificato 1 volta in totale.
