OliForum Matematico

trovare tutte le coppie $ (x,y) \in Q^2 $ t.c.:
$ \displaystyle x^3+y^3=x^2+y^2 $

buon lavoro

È un pò che non posto una soluzione!

La soluzione banale è $ x=y=0 $.

Supponiamo poi che entrambi $ x,y> 1 $.
In tal caso però il LHS cresce più del RHS → assurdo.

Caso inverso se fossero $ x,y<1 $.

Supponiamo per simmetria che sia $ x\ge 1, y\le 1 $ e facciamo un cambio di variabile $ y=\displaystyle \frac{1}{z} $, dato che la soluzione banale la si può escludere.

$ x^3+\displaystyle \frac{1}{z^3}=x^2+\frac{1}{z^2} $

$ x^3z^3+1=x^2z^3+z $

$ x^3z^3+1=z(x^2z^2+1) $

Allora $ z\vert $LHS $ \rightarrow z=y=1 $. ← ORRORE, NON È VERO! (leggi post dopo)

Le soluzioni sono dunque $ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) $.

Ciao!

sono razionali... da dove salta fuori quel z | RHS?

E poi non è chiaro quel "il LHS cresce più del RHS"... per favore non prendere l'abitudine di scrivere così stringato! [che poi lo fai anche a Cesenatico...]