n|p-q - dalla Cecoslovacchia (1978)

[EUCLA]

Per ogni $ n $ naturale esistono due primi distinti$ p, q $ tali che $ n\vert{p-q} $.

Socialists Republic Of Czechoslovakia, IMO 1978 Longlist

[Sesshoumaru]

Per ogni $ n $ naturale esistono due primi distinti$ p, q $ tali che $ n\vert{p-q} $.

Socialists Republic Of Czechoslovakia, IMO 1978 Longlist

Ehm..

La tesi corrisponde a dimostrare che p-q = kn, ovvero che p = kn+q
Se pongo k=4 e q=3 mi riconduco al classico problema di dimostrare che esistono infiniti primi nella forma 4n+3... no?
(p e q saranno sempre distinti perchè non esiste nessun n che dia p=3, a parte 0 che però non si può considerare un divisore, vero?)

Edit: ho scritto una sciocchezza
Ovviamente questo non vale per tutti gli n... avevo letto male
Non poteva essere così facile, essendo un IMO


Riedit: Nel cercare di risolvere questo problema sono incappato nel teorema di Dirichlet, quindi provo a rifarmi...
Sempre riconducendo la tesi a p=nk+q, per ogni n mi basterà scegliere un q che sia coprimo a n
(quindi basta che q sia maggiore di n, essendo q primo) e per il teorema di Dirichlet esisterà un primo di quella forma...
(anzi, infiniti, e questo ci assicura che p e q siano distinti)

[EUCLA]

Non poteva essere così facile, essendo un IMO

Nono, è facile, molto facile, non a caso non l'hanno scelto per le imo

[Sesshoumaru]

Non poteva essere così facile, essendo un IMO

Nono, è facile, molto facile, non a caso non l'hanno scelto per le imo

Il secondo edit l'hai visto?
Non so se è giusto quello che ho scritto, ma certamente mi sembra molto poco olimpico

[EUCLA]

Visto visto

Io avevo trovato inizialmente un'altra soluzione, poi edriv mi ha fatto accorgere di quanto fosse stupida. Ce n'è una molto molto semplice...

I primi sono infiniti + pidgeonhole (su n+1)!

[Sesshoumaru]

Visto visto

Io avevo trovato inizialmente un'altra soluzione, poi edriv mi ha fatto accorgere di quanto fosse stupida. Ce n'è una molto molto semplice...

I primi sono infiniti + pidgeonhole (su n+1)!

La tesi in effetti è equivalente a $ p \equiv q \pmod n $
Le congruenze modulo n sono finite, quindi ci saranno almeno due primi nella stessa classe di congruenza... incredibilmente facile!