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Per ogni $ n $ naturale esistono due primi distinti$ p, q $ tali che $ n\vert{p-q} $.

Socialists Republic Of Czechoslovakia, IMO 1978 Longlist

EUCLA ha scritto:Per ogni $ n $ naturale esistono due primi distinti$ p, q $ tali che $ n\vert{p-q} $.

Socialists Republic Of Czechoslovakia, IMO 1978 Longlist

Ehm..

La tesi corrisponde a dimostrare che p-q = kn, ovvero che p = kn+q
Se pongo k=4 e q=3 mi riconduco al classico problema di dimostrare che esistono infiniti primi nella forma 4n+3... no?
(p e q saranno sempre distinti perchè non esiste nessun n che dia p=3, a parte 0 che però non si può considerare un divisore, vero?)

Edit: ho scritto una sciocchezza
Ovviamente questo non vale per tutti gli n... avevo letto male
Non poteva essere così facile, essendo un IMO


Riedit: Nel cercare di risolvere questo problema sono incappato nel teorema di Dirichlet, quindi provo a rifarmi...
Sempre riconducendo la tesi a p=nk+q, per ogni n mi basterà scegliere un q che sia coprimo a n
(quindi basta che q sia maggiore di n, essendo q primo) e per il teorema di Dirichlet esisterà un primo di quella forma...
(anzi, infiniti, e questo ci assicura che p e q siano distinti)

Sesshoumaru ha scritto: Non poteva essere così facile, essendo un IMO

Nono, è facile, molto facile, non a caso non l'hanno scelto per le imo

EUCLA ha scritto:

Sesshoumaru ha scritto: Non poteva essere così facile, essendo un IMO

Nono, è facile, molto facile, non a caso non l'hanno scelto per le imo

Il secondo edit l'hai visto?
Non so se è giusto quello che ho scritto, ma certamente mi sembra molto poco olimpico

Visto visto

Io avevo trovato inizialmente un'altra soluzione, poi edriv mi ha fatto accorgere di quanto fosse stupida. Ce n'è una molto molto semplice...

I primi sono infiniti + pidgeonhole (su n+1)!

EUCLA ha scritto:Visto visto

Io avevo trovato inizialmente un'altra soluzione, poi edriv mi ha fatto accorgere di quanto fosse stupida. Ce n'è una molto molto semplice...

I primi sono infiniti + pidgeonhole (su n+1)!

La tesi in effetti è equivalente a $ p \equiv q \pmod n $
Le congruenze modulo n sono finite, quindi ci saranno almeno due primi nella stessa classe di congruenza... incredibilmente facile!