Da una nota di Ramanujan del 1915.
Sia $ \varphi = \frac{9}{10}\cdot\frac{99}{100}\cdot\frac{999}{1000}\cdot\frac{9999}{10000}\cdot \ldots $.
Dimostrare che $ \varphi $ è un irrazionale la cui rappresentazione decimale contiene solo le cifre 0, 1, 8, 9.
Da Ramanujan con furore
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Tibor Gallai
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- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Hint: dimostrare questo lemma preliminare.
Fissato $ n\in \mathbb{N} $, una partizione di $ n $ in $ k $ addendi distinti è una $ k $-upla di interi positivi $ (x_1, \ldots, x_k) $ con $ x_1 < x_2 < \ldots < x_k $, e tale che $ x_1+x_2+\ldots +x_k = n $.
Lemma (Euler).
Per ogni intero positivo $ n $, il numero delle partizioni di $ n $ in un numero pari di addendi distinti, meno il numero delle partizioni di $ n $ in un numero dispari di addendi distinti, è:
$ 1 $, se $ n $ è della forma $ \displaystyle \frac {k(3k\pm 1)}{2} $, con $ k $ pari,
$ -1 $, se $ n $ è della forma $ \displaystyle \frac {k(3k\pm 1)}{2} $, con $ k $ dispari,
$ 0 $, altrimenti.
Fissato $ n\in \mathbb{N} $, una partizione di $ n $ in $ k $ addendi distinti è una $ k $-upla di interi positivi $ (x_1, \ldots, x_k) $ con $ x_1 < x_2 < \ldots < x_k $, e tale che $ x_1+x_2+\ldots +x_k = n $.
Lemma (Euler).
Per ogni intero positivo $ n $, il numero delle partizioni di $ n $ in un numero pari di addendi distinti, meno il numero delle partizioni di $ n $ in un numero dispari di addendi distinti, è:
$ 1 $, se $ n $ è della forma $ \displaystyle \frac {k(3k\pm 1)}{2} $, con $ k $ pari, $ -1 $, se $ n $ è della forma $ \displaystyle \frac {k(3k\pm 1)}{2} $, con $ k $ dispari, $ 0 $, altrimenti.
Dimostro il lemma di Eulero.
Costruisco una funzione f che va da un sottoinsieme di {partizioni distinte di n} in {partizioni distinte di n}.
Partiamo dalle partizioni distinte che contengono un 1. A queste associo la partizione che si ottiene togliendo l'1 e aggiungendolo all'addendo più grande.
Finora, per com'è costruita f, si vede subito che:
- è iniettiva
- immagine e dominio sono disgiunti
- a ed f(a) hanno un numero di addendi di parità opposta
Chi non è nel dominio e neanche nell'immagine? Le partizioni che non contengono 1, e tali che l'addendo più grande non è possibile diminuirlo di 1 ottenendo un'altra partizione distinta, cioè tale che l'addendo più grande e quello immediatamente più piccolo sono consecutivi.
Con queste cerco di sbrigarmela in questo modo.
Alle partizioni (sempre i cui due addendi più grandi sono consecutivi) che contengono 2, associo la partizione che si ottiene togliendo il 2, e aggiungendo 1 agli addendi più grandi (che quindi restano consecutivi). Si osserva che vale ancora la proprietà di:
- essere iniettiva
- immagine e dominio disgiunti
- alterna parità
Quali partizioni non sono ancora state toccate?
Quelle senza 1,2 e tali che i più grandi 3 addendi sono consecutivi.
Prendo quelle con il 3, lo tolgo e lo sparpaglio sui 3 addendi più grandi.
Restano le partizioni senza 1,2,3 e tali che i più grandi 4 addendi sono consecutivi, e qua distribuirò i 4 quando ci sono, per continuare a costruire la mia f. Insomma, avete capito (spero) come va avanti la storia!
Riassumendo, ad una partizione distinta con minimo addendo k tale che:
- k $ ~ \le $ {mettendo gli addendi in ordine crescente, quanti consecutivi ne trovo alla fine}
- almeno k+1 addendi
e le associo con f la partizione ottenuta togliendo k e aggiungendo 1 ai k addendi più grandi.
Si osserva che:
- f è iniettiva
- dominio e immagine sono disgiunti
- f alterna la parità del numero di addendi
Quindi nell'insieme {immagine di f unito al dominio di f}, le partizioni distinte pari sono tante quante le partizioni distinte dispari.
Resta da capire chi non è nell'immagine e neanche nel dominio!
E ragionandoci un po' si vede che sono esattamente la partizioni distinte, con minimo addendo k, tali che:
- abbiamo k addendi e sono tutti consecutivi
oppure:
- abbiamo k+1 addendi e sono tutti consecutivi
Tali partizioni esistono se e soltanto se n è rispettivamente della forma:
$ \displaystyle \frac{k(3k-1)}2 $
$ \displaystyle \frac{k'(3k'+1)}2 $ (ho messo k' = k-1)
Si vede che tali "forme" sono disgiunte, e guardando che parità della partizione ci danno, segue il lemma.
Ora visto che ci sono concludo il problema.
Osserviamo che il lemma può anche essere scritto in questo modo:
$ \displaystyle (1-x)(1-x^2)(1-x^3)\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}2} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^kx^{\frac{k(3k+1)}2} $
(immaginate di sviluppare a mano tutto il membro a sinistra e contare i coefficienti di ogni $ ~ x^n $ usando il lemma...)
Mettendo $ ~ x=10^{-1} $, a sinistra ottemiamo proprio $ ~ \varphi $, e a destra una sua espressione decimale migliore che permette di dedurre facilmente la tesi.
[edit: vedi post successivo]
Costruisco una funzione f che va da un sottoinsieme di {partizioni distinte di n} in {partizioni distinte di n}.
Partiamo dalle partizioni distinte che contengono un 1. A queste associo la partizione che si ottiene togliendo l'1 e aggiungendolo all'addendo più grande.
Finora, per com'è costruita f, si vede subito che:
- è iniettiva
- immagine e dominio sono disgiunti
- a ed f(a) hanno un numero di addendi di parità opposta
Chi non è nel dominio e neanche nell'immagine? Le partizioni che non contengono 1, e tali che l'addendo più grande non è possibile diminuirlo di 1 ottenendo un'altra partizione distinta, cioè tale che l'addendo più grande e quello immediatamente più piccolo sono consecutivi.
Con queste cerco di sbrigarmela in questo modo.
Alle partizioni (sempre i cui due addendi più grandi sono consecutivi) che contengono 2, associo la partizione che si ottiene togliendo il 2, e aggiungendo 1 agli addendi più grandi (che quindi restano consecutivi). Si osserva che vale ancora la proprietà di:
- essere iniettiva
- immagine e dominio disgiunti
- alterna parità
Quali partizioni non sono ancora state toccate?
Quelle senza 1,2 e tali che i più grandi 3 addendi sono consecutivi.
Prendo quelle con il 3, lo tolgo e lo sparpaglio sui 3 addendi più grandi.
Restano le partizioni senza 1,2,3 e tali che i più grandi 4 addendi sono consecutivi, e qua distribuirò i 4 quando ci sono, per continuare a costruire la mia f. Insomma, avete capito (spero) come va avanti la storia!
Riassumendo, ad una partizione distinta con minimo addendo k tale che:
- k $ ~ \le $ {mettendo gli addendi in ordine crescente, quanti consecutivi ne trovo alla fine}
- almeno k+1 addendi
e le associo con f la partizione ottenuta togliendo k e aggiungendo 1 ai k addendi più grandi.
Si osserva che:
- f è iniettiva
- dominio e immagine sono disgiunti
- f alterna la parità del numero di addendi
Quindi nell'insieme {immagine di f unito al dominio di f}, le partizioni distinte pari sono tante quante le partizioni distinte dispari.
Resta da capire chi non è nell'immagine e neanche nel dominio!
E ragionandoci un po' si vede che sono esattamente la partizioni distinte, con minimo addendo k, tali che:
- abbiamo k addendi e sono tutti consecutivi
oppure:
- abbiamo k+1 addendi e sono tutti consecutivi
Tali partizioni esistono se e soltanto se n è rispettivamente della forma:
$ \displaystyle \frac{k(3k-1)}2 $
$ \displaystyle \frac{k'(3k'+1)}2 $ (ho messo k' = k-1)
Si vede che tali "forme" sono disgiunte, e guardando che parità della partizione ci danno, segue il lemma.
Ora visto che ci sono concludo il problema.
Osserviamo che il lemma può anche essere scritto in questo modo:
$ \displaystyle (1-x)(1-x^2)(1-x^3)\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}2} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^kx^{\frac{k(3k+1)}2} $
(immaginate di sviluppare a mano tutto il membro a sinistra e contare i coefficienti di ogni $ ~ x^n $ usando il lemma...)
Mettendo $ ~ x=10^{-1} $, a sinistra ottemiamo proprio $ ~ \varphi $, e a destra una sua espressione decimale migliore che permette di dedurre facilmente la tesi.
[edit: vedi post successivo]
Ultima modifica di edriv il 13 apr 2008, 20:14, modificato 1 volta in totale.
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Tibor Gallai
- Messaggi: 1776
- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Giusto edriv, bravo!
Noto un po' di ridondanza iniziale, e qualche reticenza finale. Forse era meglio bilanciare il tutto, ma va bene anche così. Magari qualcuno ha voglia di esplicitare la tua ultima riga, sebbene, lo ammetto, sia la parte più facile.
EDIT:
Ah, c'è solo una correzione da fare: nell'equazione delle funzioni generatrici, una delle due sommatorie a destra deve partire da k=0.
Noto un po' di ridondanza iniziale, e qualche reticenza finale. Forse era meglio bilanciare il tutto, ma va bene anche così. Magari qualcuno ha voglia di esplicitare la tua ultima riga, sebbene, lo ammetto, sia la parte più facile.
EDIT:
Ah, c'è solo una correzione da fare: nell'equazione delle funzioni generatrici, una delle due sommatorie a destra deve partire da k=0.