Abbiamo 12 palline, di cui una ha un peso diverso dalle altre. Vogliamo, con tre pesate, determinare qual è.
Ce la faremo?
ps: la bilancia è a piatti
Solito giochino di palline e bilancia
Solito giochino di palline e bilancia
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Re: Solito giochino di palline e bilancia
Definiamo BUONE le 11 palline di eguale peso e <D> la pallina di peso diverso.
Osserviamo preliminarmente che:
osservazione 1) avendo una riserva di "buone" è possibile individuare <D> fra due palline mediante il confronto di una di esse con una delle buone;
osservazione 2) qualora si sapesse che <D> abbia peso maggiore (o minore) basterebbe una sola pesata per individuarla fra tre palline.
Si proceda dunque nel modo seguente.
Si pongano su ciascuno dei due piatti quattro palline.
Possono verificarsi due casi:
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Esaminiamo ora i due casi possibili.
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
Se hanno peso uguale, abbiamo costituito una riserva di otto buone, e <D> sta tra le altre quattro. Confrontiamo due di quest'ultime con due buone: se il peso è uguale, <D> starà fra le due palline mai pesate, altrimenti è una di queste due; la terza pesata, per l'osservazione 1, la individuerà.
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Supponiamo che dalla prima pesata il piatto sinistro risulti più pesante del destro (il ragionamento vale specularmente anche nel caso opposto), allora abbiamo una riserva di quattro buone. Dette SSSS le palline che sono state pesate nel piatto sinistro, DDDD quelle pesate nel piatto destro e BBBB quelle buone, operiamo la seconda pesata nel seguente modo: DSSS - SBBB (abbiamo scambiato di piatto due palline e sostituito tre palline del piatto
destro con tre buone).
A questo punto si hanno 3 sotto-casi.
1) Se il piatto sinistro continua a essere più pesante, sappiamo che <D> è una delle tre SSS dello stesso piatto, e sappiamo anche che la falsa è più pesante; con la terza pesata possiamo individuarla (per l'osservazione 2).
2) Se invece i piatti alla seconda pesata registrano lo stesso peso, sappiamo che <D> è una delle tre DDD sostituite sul piatto destro con tre buone, e sappiamo anche che <D> è più leggera; perciò <D> può essere individuata con la terza pesata (osservazione 2).
3) Se infine il piatto sinistro diviene più leggero, <D> è una delle due palline scambiate da un piatto all'altro, e anche in questo caso la terza pesata può individuarla (osservazione 1).
Bye
Osserviamo preliminarmente che:
osservazione 1) avendo una riserva di "buone" è possibile individuare <D> fra due palline mediante il confronto di una di esse con una delle buone;
osservazione 2) qualora si sapesse che <D> abbia peso maggiore (o minore) basterebbe una sola pesata per individuarla fra tre palline.
Si proceda dunque nel modo seguente.
Si pongano su ciascuno dei due piatti quattro palline.
Possono verificarsi due casi:
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Esaminiamo ora i due casi possibili.
1° caso: i due gruppi di 4 palline hanno lo stesso peso;
Se hanno peso uguale, abbiamo costituito una riserva di otto buone, e <D> sta tra le altre quattro. Confrontiamo due di quest'ultime con due buone: se il peso è uguale, <D> starà fra le due palline mai pesate, altrimenti è una di queste due; la terza pesata, per l'osservazione 1, la individuerà.
2° caso: i due gruppi di 4 palline hanno peso diverso.
Supponiamo che dalla prima pesata il piatto sinistro risulti più pesante del destro (il ragionamento vale specularmente anche nel caso opposto), allora abbiamo una riserva di quattro buone. Dette SSSS le palline che sono state pesate nel piatto sinistro, DDDD quelle pesate nel piatto destro e BBBB quelle buone, operiamo la seconda pesata nel seguente modo: DSSS - SBBB (abbiamo scambiato di piatto due palline e sostituito tre palline del piatto
destro con tre buone).
A questo punto si hanno 3 sotto-casi.
1) Se il piatto sinistro continua a essere più pesante, sappiamo che <D> è una delle tre SSS dello stesso piatto, e sappiamo anche che la falsa è più pesante; con la terza pesata possiamo individuarla (per l'osservazione 2).
2) Se invece i piatti alla seconda pesata registrano lo stesso peso, sappiamo che <D> è una delle tre DDD sostituite sul piatto destro con tre buone, e sappiamo anche che <D> è più leggera; perciò <D> può essere individuata con la terza pesata (osservazione 2).
3) Se infine il piatto sinistro diviene più leggero, <D> è una delle due palline scambiate da un piatto all'altro, e anche in questo caso la terza pesata può individuarla (osservazione 1).
Bye