Funzione simmetrica da massimizzare (e minimizzare)

[Cammy87]

Trovare i massimi e i minimi di $ f:D\rightarrow\mathbb{R} $, tale che $ f(x,y,z)=xy+yz+zx $. Dove $ D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z=x^2+y^2, z\le x+y\} $.

L'ho postato qui anche se penso che ci sia una soluzione olimpica (oltre a quella analitica) sebbene io non l'abbia trovata.

[karl]

Poniamo $ \displaystyle u=xy+yz+zx=xy+z(x+y) $
Poiché è $ \displaystyle z=x^2+y^2 $ si può scrivere :
$ \displaystyle u(x,y)=xy+(x+y)(x^2+y^2) $ con la condizione $ \displaystyle x^2+y^2\le x+y $
ovvero il dominio da considerare è la circonferenza c di centro $ \displaystyle E (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $ ,raggio r=$ \displaystyle \frac{\sqrt2}{2} $
ed il suo interno.
Ora all'interno di c è $ \displaystyle x^2+y^2<x+y $ e quindi $ u<xy+(x+y)^2 $
mentre su c è
(1) $ u=xy+(x+y)^2 $
e da ciò segue che il massimo di u ,se esiste,va calcolato su c.
Detto allora P(x,y) un punto dell'arco ABC (vedi fig),si
verifica facilmente che è:
$ \displaystyle u(-x,y)=u(x,-y)\le u(x,y) $
Da ciò segue che il massimo di u va ricercato sull'arco ABC di c ,anzi ci si può limitare all'arco AB data
la simmetria rispetto alla retta OB.
Ora dalla (1) discende che:
$ u \le \frac{1}{4}(x+y)^2+(x+y)^2=\frac{5}{4}(x+y)^2=\frac{5}{4}(x^2+y^2)^2=\frac{5}{4}\bar{OP}^4 $
E' quindi chiaro che il massimo di u si ottiene quando è massimo OP e ciò
avviene nel punto B(1,1).Pertanto dalla (1) otteniamo :
max(u)=u(1,1)=5
Non sono riuscito a trovare il minimo di u in maniera altrettanto elementare. Tale minimo è -0.041 circa ,ottenuto
mediante l'analisi e con calcoli che vi risparmio per... non guastarvi il pomeriggio.
karl

[Cammy87]

Bella soluzione!
Il minimo veniva anche a me quello, con un ragionamento simile (ma un po' più lungo e non così bello ). Mentre per il massimo a questo punto mi pare proprio che non si riesca a fare a meno dei moltiplicatori di lagrange e di un sacco di contazzi...