Dimostrare che se
$ \displaystyle MCD(a,b,c)=1 $
$ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c} $
allora a,b e c sono quadrati perfetti
Vale la stessa cosa se si ommette MCD(a,b,c)=1?
Suggerimento in bianco
Una volta Evariste disse qualcosa che per questo problema è fondamentale...
Nonostante il suggerimento fate comunque attenzione...c'è un piccolo tranello...non saltate subito alle conclusioni
ugualiaza da dimostrare
ugualiaza da dimostrare
Ultima modifica di angus89 il 06 apr 2008, 15:52, modificato 1 volta in totale.
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
allora se $ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} $ allora $ c = a + b + 2\sqrt{a}\sqrt{b} $
siccome c e' un numero intero anche $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ deve esserlo.
Ora se $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ e' un numero intero o a e b sono quadrati perfetti oppure deve esistere un fattore primo p comune tale che $ p_a = p^{e_1} $ , $ p_b = p^{e_2} $ e $ e_1 + e_2 \equiv 0(mod 2) $.
La seconda ipotesi e' impossibile perche' se fosse cosi' anche c sarebbe divisibile per p contraddicendo la prima ipotesi (c sarebbe la somma di tre multipli di p).
E' vera quindi la prima $ a = x^2 $, $ b = y^2 $ e $ 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2xy $.
$ c = x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 $ cvd.
se si omette l'ipotesi che i numeri siano coprimi $ \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{8} $
siccome c e' un numero intero anche $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ deve esserlo.
Ora se $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ e' un numero intero o a e b sono quadrati perfetti oppure deve esistere un fattore primo p comune tale che $ p_a = p^{e_1} $ , $ p_b = p^{e_2} $ e $ e_1 + e_2 \equiv 0(mod 2) $.
La seconda ipotesi e' impossibile perche' se fosse cosi' anche c sarebbe divisibile per p contraddicendo la prima ipotesi (c sarebbe la somma di tre multipli di p).
E' vera quindi la prima $ a = x^2 $, $ b = y^2 $ e $ 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2xy $.
$ c = x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 $ cvd.
se si omette l'ipotesi che i numeri siano coprimi $ \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{8} $
paolo
