OliForum Matematico

Dimostrare che se
$ \displaystyle MCD(a,b,c)=1 $
$ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c} $
allora a,b e c sono quadrati perfetti

Vale la stessa cosa se si ommette MCD(a,b,c)=1?
Suggerimento in bianco
Una volta Evariste disse qualcosa che per questo problema è fondamentale...
Nonostante il suggerimento fate comunque attenzione...c'è un piccolo tranello...non saltate subito alle conclusioni

allora se $ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} $ allora $ c = a + b + 2\sqrt{a}\sqrt{b} $
siccome c e' un numero intero anche $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ deve esserlo.
Ora se $ \sqrt{a}\sqrt{b} $ e' un numero intero o a e b sono quadrati perfetti oppure deve esistere un fattore primo p comune tale che $ p_a = p^{e_1} $ , $ p_b = p^{e_2} $ e $ e_1 + e_2 \equiv 0(mod 2) $.
La seconda ipotesi e' impossibile perche' se fosse cosi' anche c sarebbe divisibile per p contraddicendo la prima ipotesi (c sarebbe la somma di tre multipli di p).
E' vera quindi la prima $ a = x^2 $, $ b = y^2 $ e $ 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2xy $.
$ c = x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 $ cvd.
se si omette l'ipotesi che i numeri siano coprimi $ \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{8} $

che velocità...