stile ammissione sns

[jordan]

siano $ m,n \in N $.
Dimostrare che $ 6m | (2m+3)^n+1 \Leftrightarrow 4m | 3^n+1 $.

[edit: i'm very sorry! i've forgotten +1 !!]

[julio14]

$ 6m | (2m+3)^n $

Ho le traveggole, o esistono numeri pari che dividono numeri dispari?

[Agi_90]

$ 6m | (2m+3)^n $

Ho le traveggole, o esistono numeri pari che dividono numeri dispari?

allora non ero rincretinito (era un po' che mi venivano assurdi da tutte le parti):!:

[mitchan88]

Per la cronaca è dal tst 208 del vietnam

[julio14]

$ $2\cdot 3\cdot m|(2m+3)^n+1 $
Il 2 è banalmente sempre vero e quindi non ci importa.
$ $m|(2m+3)^n+1\rightarrow m|(2m)^n....3^n+1\rightarrow m|3^n+1 $
$ $3|(2m)^n....3^n+1\rightarrow 3|(2m)^n+1 $
$ $(2m)^n\cong -1\mod3\rightarrow 2m\cong -1\mod3\rightarrow $$ $n\cong 1\mod2\rightarrow 4|3^n+1 $

Se non è molto chiaro come faccio a passare da $ (2m)^n $ a $ 2m $ è semplicemente perchè se fosse congruo a 0 o 1, elevato a qualunque n non potrebbe mai essere congruo a -1.

[giove]

Occhio che se $ 2\mid a $, $ 3\mid a $ e $ m \mid a $ non è detto che $ (2\cdot 3\cdot m) \mid a $

[jordan]

Per la cronaca è dal tst 208 del vietnam

almeno li posto ex novo no?

[julio14]

Occhio che se $ 2\mid a $, $ 3\mid a $ e $ m \mid a $ non è detto che $ (2\cdot 3\cdot m) \mid a $

A dire il vero io dico il contrario: se 6m|a, allora 2|a;3|a;m|a.
Cmq il problema si ripresenta dall'altra parte con 4m, quando finisce milan-juve provo a correggere (superpippo!!!!)

Tra l'altro noto ora che la cosa va dimostrata in entrambi i sensi... beh intanto cerco di fare il primo, evito di incasinarmi la vita!

[darkcrystal]

Poniamo $ m=2^kd $, dove d è dispari.
Allora, per tutte le osservazioni già fatte nei vari post precedenti, la condizione di sinistra è equivalente al sistema fra le seguenti condizioni:
$ 2^kd \equiv 1 \pmod 3 $
$ n \equiv 1 \pmod 2 $
$ 3^n+1 \equiv 0 \pmod d $
$ 3^n+1 \equiv 0 \pmod {2^{k+1}} $

La condizione di destra si riscrive invece come
$ 3^n+1 \equiv 0 \pmod d $
$ 3^n+1 \equiv 0 \pmod {2^{k+2}} $

Dimostriamo intanto un lemma: tutti i fattori primi (Edit, vedi sotto: e maggiori di 4!) di $ 3^n +1 $, se n è dispari, sono congrui a 1 modulo 3.
Sia infatti p primo tale che $ 3^n \equiv -1 \pmod p $, che implica $ 3^{n+1} \equiv -3 \pmod p $, cioè -3 è un residuo quadratico modulo p.
Per la legge di reciprocità quadratica si ha allora che anche p è un residuo quadratico modulo 3 (per essere precisi:

$ \left( \frac{p}{3} \right) \left( \frac{3}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} $ e $ \left( \frac{3}{p} \right) = \left( \frac{-3}{p} \right) \left( \frac{-1}{p} \right)=1 \cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}} $
Sostituendo si ha la tesi voluta.
)

Ma allora $ p \equiv a^2 \pmod 3 $, ed è noto che i quadrati siano congrui ad 1 modulo 3 (vabbè, o a 0, ma se p è primo...)

Ok. Ora dedichiamoci al problema. Il sistema a sinistra implica quello a destra: infatti da n dispari e $ d|3^n+1 $ otteniamo $ d \equiv 1 \pmod 3 $, che insieme a $ 2^kd \equiv 1 \pmod 3 $ ci dice che k è pari. Se ora per assurdo fosse $ k \geq 2 $, allora avremmo $ 8|3^n+1 $ che è assurdo. Perciò k=0. Ma allora il sistema di destra è verificato: infatti sappiamo già che $ d|3^n+1 $, e da k=0 otteniamo che $ 2^{k+2}=4 | 3^n+1 $ (in quanto n è dispari).

Il sistema a destra, poi, implica quello a sinistra abbastanza banalmente: $ 2^{k+2} $ può essere solo 4, ed inoltre d è congruo ad 1 mod 3 per il lemma.
Inoltre n è dispari, perchè se fosse pari avremmo $ 2 \equiv 0 \pmod 4 $, che è assurdo.
Allora le condizioni del sistema di sinistra sono tutte verificate: infatti $ 4d \equiv 1 \pmod 3 $, n è dispari, $ d|3^n+1 $ per ipotesi, e $ 3^n+1 \equiv 0 \pmod 2 $

Spero si capisca qualcosa.

Ciao!

[jordan]

complimenti darkrystal
ps nel lemma devi aggiungere fattori primi >4

[darkcrystal]

Ehm si jordan ha ragione come al solito... comunque il senso complessivo credo si capisca lo stesso