e $ f(2008)=1 $
Carina e facile, buon lavoro!
Funzionale - Moldova National Olympiad 2008
Funzionale - Moldova National Olympiad 2008
Trovare tutte le funzioni $ f(x):\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} $ tali che $ \displaystyle f(x)\cdot f(y) + f\bigg(\frac {2008}{x}\bigg)\cdot f\bigg(\frac {2008}{y}\bigg) = 2f(x\cdot y) $
e $ f(2008)=1 $
Carina e facile, buon lavoro!
e $ f(2008)=1 $
Carina e facile, buon lavoro!
Ponendo x=y=1, si ha $ {f(1)}^2+1=2(f(1)) $ risolvendo l'equazione, si ottiene $ f(1)=1 $ ora ponendo solamente y=1 si ha $ f(x)=f(2008/x) $ usandolo nell'equazione di partenza si ottiene $ f(x)f(y)=f(xy) $ ora ponendo y= 2008/x , si ha $ {f(x)}^2=1 $ ovvero $ f(x)=+1 $ o $ f(x)=-1 $ ...ora poniamo $ y=x^2 $ possiamo ottenere analogamente a prima $ 2{(f(x))}^2=2(f(y)) $ ovvero $ f(y)=1 $ per ogni Reale positivo(difatti la radice quadrata è "ben definita" definita sui reali positivi)
Ultima modifica di Carlein il 12 apr 2008, 20:21, modificato 1 volta in totale.
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"