Funzionale svizzera da Parma 2007
Funzionale svizzera da Parma 2007
Trovare tutte le funzioni $ f: \mathbb{R}_{0} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che $ \displaystyle \frac{1}{x}f(-x)+f\bigg(\frac{1}{x}\bigg)=x $
Sostituendo $ x=k $ e $ x=\displaystyle-\frac{1}{k} $
ottengo
$ \displaystyle \frac{1}{k}f(-k)+f\bigg(\frac{1}{k}\bigg)=k $
$ \displaystyle -kf\bigg(\frac{1}{k}\bigg)+f(-k)=-\frac{1}{k} $
che risolvendo mi da
$ \displaystyle f(-k)=\frac{k^2}{2}-\frac{1}{2k} $
$ \displaystyle f\bigg(\frac{1}{k}\bigg)=\frac{k}{2}+\frac{1}{2k^2} $
Da entrambe posso arrivare a
$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x} $
ottengo
$ \displaystyle \frac{1}{k}f(-k)+f\bigg(\frac{1}{k}\bigg)=k $
$ \displaystyle -kf\bigg(\frac{1}{k}\bigg)+f(-k)=-\frac{1}{k} $
che risolvendo mi da
$ \displaystyle f(-k)=\frac{k^2}{2}-\frac{1}{2k} $
$ \displaystyle f\bigg(\frac{1}{k}\bigg)=\frac{k}{2}+\frac{1}{2k^2} $
Da entrambe posso arrivare a
$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x} $
