$ a^2+5b^2=c^2 $
$ a^2-5b^2=d^2 $
ho postato questo esercizio per sapere se esiste una soluzione non brutta come la mia..(tra l'altro ho scoperto mezza monca)
sistema in Z^4
sistema in Z^4
trovare tutte le soluzioni $ (a,b,c,d) \in Z^4 $ tali che:
$ a^2+5b^2=c^2 $
$ a^2-5b^2=d^2 $
ho postato questo esercizio per sapere se esiste una soluzione non brutta come la mia..(tra l'altro ho scoperto mezza monca)
$ a^2+5b^2=c^2 $
$ a^2-5b^2=d^2 $
ho postato questo esercizio per sapere se esiste una soluzione non brutta come la mia..(tra l'altro ho scoperto mezza monca)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
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FrancescoVeneziano
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Jordan, ho risolto il problema ma solo con strumenti molto avanzati. Mi piacerebbe sapere cosa sei riuscito a fare, anche se non credo che si possa arrivare alla descrizione delle soluzioni senza usare molta Teoria in più; dovrebbe essere possibile dimostrare elementarmente che esistono infinite soluzioni, ma non "trovarle tutte".
Per prima cosa l'occhio del geometra algebrico scorge subito nel tuo sistema una curva ellittica (l'intersezione di due quadriche in $ \mathbb{P}^3 $ in posizione generale ha genere 1): cerchiamo di portarla alla luce.
Visto che le equazioni sono omogenee il problema è equivalente a cercare le soluzioni razionali del sistema disomogeneizzato che si ottiene dividendo tutto per a^2.
Sommando le due equazioni ottieni l'equazione di una circonferenza.
Con un procedimento che abbiamo già visto un po' di volte è possibile parametrizzare tutte le soluzioni razionali di questa equazione, basta fissare un punto a coordinate razionali, ad esempio (1,1), e considerare le rette con coefficiente angolare t passanti per (1,1); queste rette intersecano la circonferenza in un secondo punto, anch'esso a coordinate razionali, che si esprimono come funzioni razionali di t. È facile vedere che questo procedimento parametrizza tutti i punti razionali.
Sostituendo le parametrizzazioni ottenute nella differenza delle due equazioni si ottiene l'equazione $ 5 b^2=\frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} $; incorporando con un altro cambio di variabili i fattori quadrati sulla destra dentro b^2 e con qualche aggiustamento cosmetico si ottiene la curva ellittica in forma di Weierstrass
$ y^2=x^3-25x $ dove, in termini degli originali a,b,c,d,
$ x=-5\frac{a-d}{a-c}, y=\frac{b}{2a}\left(1-\left(\frac{a-d}{a-c}\right)^2\right) $ e queste sostituzioni hanno un'inversa razionale data da
$ [tex] $ [a
c:d]=[x^2+25 : 2y : x^2+10x-25 : 25+10x-x^2] [/tex].
Una volta arrivati alla curva ellittica però, non c'è più molto da fare per via elementare se non dimostrare con la costruzione con le tangenti che esistono infinite soluzioni. Io ho dimostrato che i punti di torsione sono 4, generati da (5,0) e (-5,0), e che la parte libera ha rango 1 con generatore (trovato al computer) (-4,6).
In pratica, tutte le soluzioni razionali (x,y) si trovano a partire dai punti (5,0),(-5,0),(-4,6) applicando ripetutamente la costruzione con le corde e le tangenti, e da questi si ottengono le soluzioni intere [ac:d] del sistema di partenza.
Tutto ciò è molto non-elementare, se vuoi altre spiegazioni mandami un messaggio privato.
[EDIT: Mi sono accorto che avevo lavorato sul sistema formato dalla somma e dalla differenza delle equazioni di partenza, questo in realtà non è necessario e il procedimento esposto funziona direttamente sulle equazioni iniziali ed ovviamente porta alla stessa curva ellittica tramite diversi cambi di variabile.]
Per prima cosa l'occhio del geometra algebrico scorge subito nel tuo sistema una curva ellittica (l'intersezione di due quadriche in $ \mathbb{P}^3 $ in posizione generale ha genere 1): cerchiamo di portarla alla luce.
Visto che le equazioni sono omogenee il problema è equivalente a cercare le soluzioni razionali del sistema disomogeneizzato che si ottiene dividendo tutto per a^2.
Sommando le due equazioni ottieni l'equazione di una circonferenza.
Con un procedimento che abbiamo già visto un po' di volte è possibile parametrizzare tutte le soluzioni razionali di questa equazione, basta fissare un punto a coordinate razionali, ad esempio (1,1), e considerare le rette con coefficiente angolare t passanti per (1,1); queste rette intersecano la circonferenza in un secondo punto, anch'esso a coordinate razionali, che si esprimono come funzioni razionali di t. È facile vedere che questo procedimento parametrizza tutti i punti razionali.
Sostituendo le parametrizzazioni ottenute nella differenza delle due equazioni si ottiene l'equazione $ 5 b^2=\frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} $; incorporando con un altro cambio di variabili i fattori quadrati sulla destra dentro b^2 e con qualche aggiustamento cosmetico si ottiene la curva ellittica in forma di Weierstrass
$ y^2=x^3-25x $ dove, in termini degli originali a,b,c,d,
$ x=-5\frac{a-d}{a-c}, y=\frac{b}{2a}\left(1-\left(\frac{a-d}{a-c}\right)^2\right) $ e queste sostituzioni hanno un'inversa razionale data da
$ [tex] $ [a
c:d]=[x^2+25 : 2y : x^2+10x-25 : 25+10x-x^2] [/tex].Una volta arrivati alla curva ellittica però, non c'è più molto da fare per via elementare se non dimostrare con la costruzione con le tangenti che esistono infinite soluzioni. Io ho dimostrato che i punti di torsione sono 4, generati da (5,0) e (-5,0), e che la parte libera ha rango 1 con generatore (trovato al computer) (-4,6).
In pratica, tutte le soluzioni razionali (x,y) si trovano a partire dai punti (5,0),(-5,0),(-4,6) applicando ripetutamente la costruzione con le corde e le tangenti, e da questi si ottengono le soluzioni intere [a
c:d] del sistema di partenza.Tutto ciò è molto non-elementare, se vuoi altre spiegazioni mandami un messaggio privato.
[EDIT: Mi sono accorto che avevo lavorato sul sistema formato dalla somma e dalla differenza delle equazioni di partenza, questo in realtà non è necessario e il procedimento esposto funziona direttamente sulle equazioni iniziali ed ovviamente porta alla stessa curva ellittica tramite diversi cambi di variabile.]
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
grazie mille per l'interessamento al problema..
be, come ho detto all'inizio la mia soluzione è monca.. non so comunque forse anche dalla mia strada (che usa tdn elementare) probabilmente si puo concludere..
si tratta di risolvere in $ N $ la diofantea $ 20b^2=mn(m+n)(m-n) $ con esattamente uno tra m e n pari (e wlog primi tra loro).
metto il link al pezzo di dimostrazione che ho pubblicato come open question su mathlink nella speranza che qualcuno concludesse..
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=201460
ad ogni modo, l'altro giorno ho perso parecchio tempo su questo esercizio, e ricordo che tale diofantea si spezzava in vari sistemini (mi sono accorto che era incompleta solo dopo aver postato l'esercizio altrimenti non l'avrei fatto..)
@Francesco grazie ancora, con calma proverò a capire la tua soluzione visto che non sono un esperto in materia..
be, come ho detto all'inizio la mia soluzione è monca.. non so comunque forse anche dalla mia strada (che usa tdn elementare) probabilmente si puo concludere..
si tratta di risolvere in $ N $ la diofantea $ 20b^2=mn(m+n)(m-n) $ con esattamente uno tra m e n pari (e wlog primi tra loro).
metto il link al pezzo di dimostrazione che ho pubblicato come open question su mathlink nella speranza che qualcuno concludesse..
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=201460
ad ogni modo, l'altro giorno ho perso parecchio tempo su questo esercizio, e ricordo che tale diofantea si spezzava in vari sistemini (mi sono accorto che era incompleta solo dopo aver postato l'esercizio altrimenti non l'avrei fatto..)
@Francesco grazie ancora, con calma proverò a capire la tua soluzione visto che non sono un esperto in materia..
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FrancescoVeneziano
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Se ci rifletti un po' vedrai che quello che hai fatto è esattamente quello che ho fatto anch'io. Hai ottenuto l'equazione di una circonferenza e hai usato una considerazione aritmetica per ottenere una terna pitagorica; usare la parametrizzazione delle terne pitagoriche è come usare la parametrizzazione della circonferenza data dalla proiezione stereografica (la stessa che esprime seno e coseno in termini della tangente di $ \theta/2 $): sono esattamente la stessa cosa.
Infatti alla fine sei arrivato alla curva ellittica $ 20b^2=mn(m+n)(m-n) $, che con un semplice cambio di variabili è proprio $ y^2=x^3-25x $, che ha infinite soluzioni.
Le soluzione del problema originale "più semplici" (in un senso tutto da precisarsi) non della forma [1:0:±1:±1] sono [41:12:49:31] e [3344161:1494696:4728001:113279].
Quanto allo spezzarsi della diofantea in tanti sistemini, è possibile e—quando non ci sono soluzioni o ce ne sono un numero finito—può essere un modo per dimostrarlo usando opportune congruenze sui "sistemini". In questo caso però ci sono infiniti punti, e non credo se ne possa ottenere una descrizione.
Infatti alla fine sei arrivato alla curva ellittica $ 20b^2=mn(m+n)(m-n) $, che con un semplice cambio di variabili è proprio $ y^2=x^3-25x $, che ha infinite soluzioni.
Le soluzione del problema originale "più semplici" (in un senso tutto da precisarsi) non della forma [1:0:±1:±1] sono [41:12:49:31] e [3344161:1494696:4728001:113279].
Quanto allo spezzarsi della diofantea in tanti sistemini, è possibile e—quando non ci sono soluzioni o ce ne sono un numero finito—può essere un modo per dimostrarlo usando opportune congruenze sui "sistemini". In questo caso però ci sono infiniti punti, e non credo se ne possa ottenere una descrizione.
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