un fattoriale ha molti zeri... ma prima?

[salva90]

Sia $ ~a_n $ l'ultima cifra non nulla nella rappresentazione decimale di $ ~n! $.
Determinare se la sequenza $ ~\{a_n\} $ diventa mai periodica.

ps: non sono ancora riuscito a risolverlo
pps: astenersi, per 5 giorni almeno, darkcrystal

[jordan]

Sia $ ~a_n $ l'ultima cifra non nulla nella rappresentazione decimale di $ ~n! $. Determinare se la sequenza $ ~\{a_n\} $ diventa mai periodica.

NO! Assumiamo che per assurdo che il periodo esista e sia $ x \in \mathbb{N}_0 $ definitivamente (e ovviamente per ogni n>1 si ha $ a_n \in \{2,4,6,8\} $). Posto$ y:=2^{\upsilon_2(x)}5^{\upsilon_5(x)} $ e $ z:=xy^{-1} $ abbiamo che esiste $ (s,t) \in \mathbb{N} $ entrambi arbitrariamente grandi tali che $ yz= x \mid 10^s(10t+1) $. In particolare è vero che $ a_{10^s-1}=a_{t10^{s+1}+2 \cdot 10^s-1} $ e quindi anche che $ a_{10^s}=a_{t10^{s+1}+2 \cdot 10^s} $, che è assurdo in quanto dovrebbe valere $ a_{t10^{s+1}+2 \cdot 10^s}=2a_{t10^{s+1}+2 \cdot 10^s-1}=2a_{10^s-1}=2a_{10^s} $.