Prendiamo un triangolo ABC e un punto P e chiamiamo P' il suo coniugato isogonale e P* il suo coniugato isotomico.
1)Determinare il luogo dei punti P tali che $ PP' \parallel AB $
2)Determinare il luogo dei punti P tali che $ PP^* \parallel AB $
3)Determinare il luogo dei punti P tali che $ P'P^* \parallel AB $
4)Determinare il luogo dei tunti P tali che P, P' e P* sono allineati.
Luoghi paralleli...
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Gabriel ... ma di questo problema hai una soluzione?
Comunque ... la risposta al primo punto è "una brutta cubica":
[coordinate trilineari]
se $ [x,y,z] $ è il nostro punto P, il suo coniugato isogonale è $ [1/x,1/y,1/z] $; il punto all'infinito del lato AB è U che ha coordinate $ [b,-a,0] $ quindi quello che vogliamo è che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}x&y&z\\\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ x(y^2-z^2)b+y(x^2-z^2)a=0 $
che è appunto una cubica... non particolarmente carina.
[/coordinate trilineari]
Penso proprio che gli altri si possano fare alla stessa maniera...con qualche conto in più.
Comunque ... la risposta al primo punto è "una brutta cubica":
[coordinate trilineari]
se $ [x,y,z] $ è il nostro punto P, il suo coniugato isogonale è $ [1/x,1/y,1/z] $; il punto all'infinito del lato AB è U che ha coordinate $ [b,-a,0] $ quindi quello che vogliamo è che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}x&y&z\\\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ x(y^2-z^2)b+y(x^2-z^2)a=0 $
che è appunto una cubica... non particolarmente carina.
[/coordinate trilineari]
Penso proprio che gli altri si possano fare alla stessa maniera...con qualche conto in più.
Beh, faccio anche il resto, tanto non ho niente da fare oggi pomeriggio (a parte la tesi...)
ii) se $ [x,y,z] $ è il nostro punto P, il suo coniugato isotomico è $ [1/a^2x,1/b^2y,1/c^2z] $; il punto all'infinito del lato AB è U che ha coordinate $ [b,-a,0] $ quindi quello che vogliamo è che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}x&y&z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ ax(b^2y^2-c^2z^2)+by(a^2x^2-c^2z^2)=0 $
che è anche lei una cubica... non particolarmente carina.
iii) stavolta invece vogliamo
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ ax(b^2-c^2)+by(a^2-c^2)=0 $
e così troviamo (sorpresa sorpresa) una retta...se qualcuno vuol provare con la sintetica, magari qui ci si riesce.
iv) infine, vogliamo che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\x&y&z\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ a^2(b^2-c^2)x^2+b^2(c^2-a^2)y^2+c^2(a^2-b^2)z^2=0 $
e dunque abbiamo una conica...
ii) se $ [x,y,z] $ è il nostro punto P, il suo coniugato isotomico è $ [1/a^2x,1/b^2y,1/c^2z] $; il punto all'infinito del lato AB è U che ha coordinate $ [b,-a,0] $ quindi quello che vogliamo è che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}x&y&z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ ax(b^2y^2-c^2z^2)+by(a^2x^2-c^2z^2)=0 $
che è anche lei una cubica... non particolarmente carina.
iii) stavolta invece vogliamo
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\b&-a&0\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ ax(b^2-c^2)+by(a^2-c^2)=0 $
e così troviamo (sorpresa sorpresa) una retta...se qualcuno vuol provare con la sintetica, magari qui ci si riesce.
iv) infine, vogliamo che
$ \textrm{det}\left|\begin{array}{ccc}\dfrac1x&\dfrac1y&\dfrac1z\\\dfrac1{a^2x}&\dfrac1{b^2y}&\dfrac1{c^2z}\\x&y&z\end{array}\right|=0 $
ovvero che
$ a^2(b^2-c^2)x^2+b^2(c^2-a^2)y^2+c^2(a^2-b^2)z^2=0 $
e dunque abbiamo una conica...