Una pulce si trova nell'origine degli assi di un sistema cartesiano ortogonale e si muove a caso di una unità in orizzontale (ovest o est) o in verticale (nord o sud).
Sapendo che se si sposta di una unità in orizzontale dopo si muove di una unità in verticale e viceversa, determinare la probabilità che dopo n mosse la pulce sia tornata nell'origine.
La pulce
Salve a tutti, sono nuovo del forum e volevo provare a dare la mia prima risposta, quindi spero sia corretta. 
Per prima cosa si nota che la pulce può trovarsi nell'origine degli assi se e solo se il numero di mosse da lei fatto è un multiplo di quattro.
Esaminando i casi più banali si ottiene che il numero totale di percorsi possibili in n mosse è di 4*2^(n-1) = 2^(n+1) (perchè, esclusa la prima volta in cui la pulce può scegliere tra 4 strade diverse, in seguito la scelta ricade sempre tra due).
Invece in n mosse i percorsi che permettono alla pulce di tornare indietro sono 4*2^(n/2-1)=2^(n/2+1) (questo perchè se la pulce compie n mosse, dopo n/2 mosse deve scegliere per forza un percorso obbligato che la riporti all'origine degli assi).
Quindi la probabilità che la pulce torni all'origine degli assi dopo n mosse è: 2^(n/2+1) / 2^(n+1)
ovvero
1/2^(n/2)
Questa formula vale solamente se n è un multiplo di 4, altrimenti la pulce non potrebbe in alcun modo trovarsi all'origine degli assi.
Spero che sia corretto il ragionamento, fatemi sapere per favore!
Per prima cosa si nota che la pulce può trovarsi nell'origine degli assi se e solo se il numero di mosse da lei fatto è un multiplo di quattro.
Esaminando i casi più banali si ottiene che il numero totale di percorsi possibili in n mosse è di 4*2^(n-1) = 2^(n+1) (perchè, esclusa la prima volta in cui la pulce può scegliere tra 4 strade diverse, in seguito la scelta ricade sempre tra due).
Invece in n mosse i percorsi che permettono alla pulce di tornare indietro sono 4*2^(n/2-1)=2^(n/2+1) (questo perchè se la pulce compie n mosse, dopo n/2 mosse deve scegliere per forza un percorso obbligato che la riporti all'origine degli assi).
Quindi la probabilità che la pulce torni all'origine degli assi dopo n mosse è: 2^(n/2+1) / 2^(n+1)
ovvero
1/2^(n/2)
Questa formula vale solamente se n è un multiplo di 4, altrimenti la pulce non potrebbe in alcun modo trovarsi all'origine degli assi.
Spero che sia corretto il ragionamento, fatemi sapere per favore!
Le variabili non cambiano mai, le costanti si.
uchiak, ho capito che sei nuovo del sito ma ti pregherei di non rispondere mai "io ho un altro risultato" e lasciare il tutto in sospeso, primo perchè non è bello, secondo perchè credo lo scopo di questo forum sia proprio il confronto traragazzi che condividono questa passione (o mattitudine se cosi la vogliamo chiamare )
ad ogni modo, finisco io per te. è stato detto che esiste $ k \in N \text{ t.c. } n=4k $ altrimenti $ p=0 $. in suddetti casi possiamo fissare nell'origine i due assi usuali e vedere che fa esattamente $ 2k $ passi sull'asse orizzontale e altrettanti su quello verticale. se il primo movimento è sull'asse orizzontale allora le possibilità sono $ \binom{2k}{k}^2 $. se parte dall'asse verticale altrettante. sui casi possibili siamo gia d'accordo che sono $ 2*2^{4k} $. possiamo concludere affermando che $ p={ \binom{2k}{k}^2}/{2^{4k} $.
)ad ogni modo, finisco io per te. è stato detto che esiste $ k \in N \text{ t.c. } n=4k $ altrimenti $ p=0 $. in suddetti casi possiamo fissare nell'origine i due assi usuali e vedere che fa esattamente $ 2k $ passi sull'asse orizzontale e altrettanti su quello verticale. se il primo movimento è sull'asse orizzontale allora le possibilità sono $ \binom{2k}{k}^2 $. se parte dall'asse verticale altrettante. sui casi possibili siamo gia d'accordo che sono $ 2*2^{4k} $. possiamo concludere affermando che $ p={ \binom{2k}{k}^2}/{2^{4k} $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.