OliForum Matematico

trovare tutte le coppie $ (x,y)\in N^2 $ tali che $ x^2+y^2+4xy $ sia un quadrato perfetto


buon lavoro!

Dimostriamo che se esiste un espressione in cui $ x $ e $ y $ hanno fattori comune,e che soddisfa la tesi,allora ne esiste una che soddisfa la tesi in cui x e y sono coprimi: chiamiamo $ p $ il MCD dei due numeri e abbiamo $ x=pf; y=ps; $ con s e f naturali: dunque $ x^2+y^2+4xy=p^2f^2+p^2s^2+4p^2sf $ ora dividendo tutto per $ p^2 $ ci resta l'espressione $ f^2+s^2+4sf $ dove $ (s,f)=1 $ per definizione di MCD.Ora chiamiamo $ f^2+s^2+4sf =n^2 $ con naturale:$ (n+f+s)(n-s-f)=2sf $ Poichè sappiamo che $ (s,f)=1 $ abbiamo tali sistemi $ n+s+f=2s; n-s-f=f $ e $ n+s+f=s;n-s-f=2f $ ora abbiamo che risolvendo tale sistema(il primo,perchè il secondo implica s=-4f,che ci dà entrambi uguali a 0 per rispettare l'ipotesi che siano naturali) si ottiene $ f=0 $ s=n ;ovviamente invertendo le variabili si rianno simmetricamente gli stessi valori: tutte le coppie sono di questa forma (0,s)...

Ok mi si è fatto notare un errore grossolano: quando dico che dal fatto che sono coprimi si ricavano necessariamente i sistemi: beh ovviamente è un passaggio arbitrario.... quindi è incompleta

Devo trovare le coppie $ (x,y) $ per cui $ x^2+y^2+4xy=k^2 $.

A me vengono queste soluzioni: $ x=\frac{n^2-1}{2} $, $ y=n+2 $ e $ k=\frac{(n+2)^2-3}{2} $, con n ovviamente dispari. E' chiaro che x e y si possono scambiare. Veniamo a come ci sono arrivato. E' stato mostrato che x e y sono coprimi; questo fatto servira' in seguito.

L'equazione originale si puo' riscrivere $ (x+2y)^2-3y^2=k^2 $, ma anche $ (x+2y)^2-k^2=3y^2 $, che diventa $ (x+2y+k)(x+2y-k)=3y^2 $. Dall'equazione di partenza si nota che $ k^2=x^2+y^2+4xy\geq x^2+y^2+2xy=(x+y)^2 $, quindi $ k\geq x+y $. Da questo ottengo che $ (x+2y-k)\leq y $. L'uguaglianza nell'ultima equazione si ha solo nel caso banale x=y=0. Sia allora $ (x+2y-k)<y $. Poiche' nella $ (x+2y+k)(x+2y-k)=3y^2 $ il secondo membro e' divisibile per y e $ (x+2y-k)<y $ allora $ (x+2y+k) $ deve almeno essere divisibile per y, ma questo significa che $ x+k=ny $, e quindi $ x=ny-k $. Ora, poiche' x e y sono coprimi k non e' ha fattori comuni a y (altrimenti x e y non sarebbero piu' coprimi).

A questo punto abbiamo $ (x+2y+k)(x+2y-k)=y(n+2)(y(n+2)-2k)=3y^2 $, cioe' $ (n+2)(y(n+2)-2k)=3y $. Il termine $ (y(n+2)-2k) $ e' minore di y e, per quanto mostrato sopra, non e' divisibile per i fattori di y (a meno che y=2, che vedremo dopo): quindi $ y=n+2 $ e $ (n+2)^2-2k=3 $, cioe' $ k=\frac{(n+2)^2-3}{2} $ e $ x=ny-k=\frac{n^2-1}{2} $. Da queste si vede che n deve essere dispari.

Il caso y=2, conduce alla soluzione banale x=0, k=2.

Mi sembra che torni a meno di sviste.

$ (x,y)=(3,8) $

La coppia (20,63) tanto per dirne una funziona, ma non mi sembra che venga "rilevata" dalle tue soluzioni.
Mi spiace ma non ho il tempo di leggerla per intero... magari nei prossimi giorni posto la mia soluzione

EDIT: ops jordan m'ha battuto

jordan ha scritto:$ (x,y)=(3,8) $

Nello studio dell'equazione $ (n+2)(y(n+2)-2k)=3y $, con $ (y(n+2)-2k)<y $, ho dimenticato di considerare il caso in cui $ 3y=(n+2) $ e $ (y(n+2)-2k)=1 $, sempre con $ x=ny-k $. Svolgendo i conti viene che sono soluzioni anche: $ x=\frac{n^2-1}{6} $, $ y=\frac{n+2}{3} $ con $ k=\frac{(n+2)^2-3}{6} $, con n che garantisca che siano tutti interi positivi. La soluzione di cui sopra si ottiene con le precedenti equazioni per n=7.

Ora poiche' se (x,y) e' una soluzione, lo sono anche $ (mx,my) $ con m intero, tutte le soluzioni (comprese quelle del mio post precedente; m=3) sono:

$ x=m\Bigl(\frac{n^2-1}{6}\Bigr) $, $ y=m\Bigl(\frac{n+2}{3}\Bigr) $, $ k=m\Bigl(\frac{(n+2)^2-3}{6}\Bigr) $, con gli m e n opportuni (che rendano le sol. intere).

(20,63) si ottiene con m=6 e n=8.