$ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} $
è un quadrato perfetto.
Good work!
Ps: Non è un Cesenatico... è solo un fake!
Potrebbe sembrare un Cesenatico... ma non lo è!
Potrebbe sembrare un Cesenatico... ma non lo è!
Trovare tutti i primi $ p $ per cui
$ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} $
è un quadrato perfetto.
Good work!
Ps: Non è un Cesenatico... è solo un fake!
$ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} $
è un quadrato perfetto.
Good work!
Ps: Non è un Cesenatico... è solo un fake!
Re: Potrebbe sembrare un Cesenatico... ma non lo è!
Per p=2
$ \displaystyle \frac{2^{2-1}-1}{2}=\frac{1}{2} $
Non va bene.
P=3
$ \displaystyle \frac{2^{3-1}-1}{3}=1 $
OK
P>3
$ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}=x^2 $
$ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) \cdot ({2^{\frac{p-1}{2}}+1})=px^2 $
Il massimo comune divisore fra $ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) $ $ ({2^{\frac{p-1}{2}}+1}) $ è 1 perché sono due dipari consecutivi e p deve dividere uno dei due, e l'altro deve essere un quadrato perfetto. Applicando mod 4 si nota che $ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) $ non può essere un quadrato perfetto e quindi....
Qualcuno vuole continuare???
$ \displaystyle \frac{2^{2-1}-1}{2}=\frac{1}{2} $
Non va bene.
P=3
$ \displaystyle \frac{2^{3-1}-1}{3}=1 $
OK
P>3
$ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}=x^2 $
$ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) \cdot ({2^{\frac{p-1}{2}}+1})=px^2 $
Il massimo comune divisore fra $ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) $ $ ({2^{\frac{p-1}{2}}+1}) $ è 1 perché sono due dipari consecutivi e p deve dividere uno dei due, e l'altro deve essere un quadrato perfetto. Applicando mod 4 si nota che $ $({2^{\frac{p-1}{2}}-1}) $ non può essere un quadrato perfetto e quindi....
Qualcuno vuole continuare???
Appassionatamente BTA 197!
Tibi quoque Parma? 
$ 2^{p-1}-1=pa^2 $
Escludendo facilmente $ p=2 $ si deduce che $ a $ è dispari.
Allora, analizzando modulo 4, deve essere $ p=4x+3 $ con $ x \in \mathbb{N} $
Sostituendo agli esponenti:
$ 2^{4x+2}-1=pa^2 $ cioè $ (2^{2x+1}-1)(2^{2x+1}+1)=pa^2 $
Ora, per non tralasciare soluzioni, supponiamo $ x>0 $ cioè $ 2^{2x+1}-1>1 $. Il caso $ x=0 $ lo riprendiamo in fondo.
Poichè $ p $ è primo, o $ p\vert 2^{2x+1}+1 $ o $ p\vert 2^{2x+1}-1 $
Notiamo che $ (2^{2x+1}-1,2^{2x+1}+1)=(2^{2x+2},2^{2x+1}+1)=1 (*) $
Allora chiamo $ f_1 $ il quoziente tra uno dei due fattori $ 2^{2x+1}+1, 2^{2x+1}-1 $ e $ p $, chiamo $ f_2 $ l'altro fattore.
Inoltre, per la $ (*) $ possiamo scrivere $ f_1=b^2, f_2=c^2 $ con $ b,c \in \mathbb{N}, bc=a $
Ora, poichè $ 2^{2x+1}+1\equiv 1\pmod 4 $ la quantità del LHS può essere un quadrato, mentre $ 2^{2x+1}-1 $ non può esserlo perchè $ 2^{2x+1}-1\equiv 3 \pmod 4 $
Allora:
$ \displaystyle \begin{cases} b^2=2^{2x+1}+1\\ pc^2=2^{2x+1}-1\\ \end{cases} $
Considerando la prima delle equazioni, mi ricavo i valori di $ x $ e di conseguenza quelli di $ p $.
$ (b-1)(b+1)=2^{2x+1} $
$ \displaystyle \begin{cases} b-1=2^m\\ b+1=2^n\\ \end{cases} $
Escludiamo a mano i casi $ m,n=0 $ perchè portano a degli assurdi.
$ b+1-b+1=2=2^n-2^m $
$ m,n>0 \rightarrow 2^{n-1}-2^{m-1}=1 $ cioè $ m-1=0, n-1=1 $
$ m=1,n=2 $ è la nostra unica soluzione. Sostituendo si trova $ p=7 $.
Si verifica che in effetti la quantità di partenza è un quadrato per $ \boxed{p=7} $
Si riprende ora $ x=0 $ che dà $ \boxed{p=3} $, anche questa si verifica essere una soluzione.
Ciao!
$ 2^{p-1}-1=pa^2 $
Escludendo facilmente $ p=2 $ si deduce che $ a $ è dispari.
Allora, analizzando modulo 4, deve essere $ p=4x+3 $ con $ x \in \mathbb{N} $
Sostituendo agli esponenti:
$ 2^{4x+2}-1=pa^2 $ cioè $ (2^{2x+1}-1)(2^{2x+1}+1)=pa^2 $
Ora, per non tralasciare soluzioni, supponiamo $ x>0 $ cioè $ 2^{2x+1}-1>1 $. Il caso $ x=0 $ lo riprendiamo in fondo.
Poichè $ p $ è primo, o $ p\vert 2^{2x+1}+1 $ o $ p\vert 2^{2x+1}-1 $
Notiamo che $ (2^{2x+1}-1,2^{2x+1}+1)=(2^{2x+2},2^{2x+1}+1)=1 (*) $
Allora chiamo $ f_1 $ il quoziente tra uno dei due fattori $ 2^{2x+1}+1, 2^{2x+1}-1 $ e $ p $, chiamo $ f_2 $ l'altro fattore.
Inoltre, per la $ (*) $ possiamo scrivere $ f_1=b^2, f_2=c^2 $ con $ b,c \in \mathbb{N}, bc=a $
Ora, poichè $ 2^{2x+1}+1\equiv 1\pmod 4 $ la quantità del LHS può essere un quadrato, mentre $ 2^{2x+1}-1 $ non può esserlo perchè $ 2^{2x+1}-1\equiv 3 \pmod 4 $
Allora:
$ \displaystyle \begin{cases} b^2=2^{2x+1}+1\\ pc^2=2^{2x+1}-1\\ \end{cases} $
Considerando la prima delle equazioni, mi ricavo i valori di $ x $ e di conseguenza quelli di $ p $.
$ (b-1)(b+1)=2^{2x+1} $
$ \displaystyle \begin{cases} b-1=2^m\\ b+1=2^n\\ \end{cases} $
Escludiamo a mano i casi $ m,n=0 $ perchè portano a degli assurdi.
$ b+1-b+1=2=2^n-2^m $
$ m,n>0 \rightarrow 2^{n-1}-2^{m-1}=1 $ cioè $ m-1=0, n-1=1 $
$ m=1,n=2 $ è la nostra unica soluzione. Sostituendo si trova $ p=7 $.
Si verifica che in effetti la quantità di partenza è un quadrato per $ \boxed{p=7} $
Si riprende ora $ x=0 $ che dà $ \boxed{p=3} $, anche questa si verifica essere una soluzione.
Ciao!