Concetto rigoroso di probabilità geometrica

[meditans]

In un paper che ho trovato su Art of Problem Solving, precisamente all'indirizzo http://www.artofproblemsolving.com/Reso ... rticle.pdf, si parla di alcuni approcci per risolvere i problemi che riguardano probabilità: quello combinatorio, quello geometrico e quello algebrico.

Vorrei capire un aspetto trascurato per il livello introduttivo del paper, cioè il fondamento rigoroso di affermazioni come:

Sometimes it is impossible to count the total number of events because there are infinitely many
possibilities. Some problems involve evaluating points on a line segment or in space, or particular
values of a continuous variable such as time.

oppure:

When a probability calculation involves one or more continuous variables, we can determine the probability by comparing the sizes of geometric regions:

$ \displaymath P(event) = \frac{size\; of\; successful\; region}{size\; of\; total\; region} $

Quello che vorrei sapere è appunto come questo sia compatibile con la definizione di probabilità come rapporto tra cardinalità di due insiemi.

Mi piacerebbe inoltre (se siete così buoni ) vedere una soluzione formale di un problema risolto in modo intuitivo sul paper in questione (problema elementare: il focus è sul rigore). Il testo lo copio:

If 1 ≤ x ≤ 4 and 2 ≤ y ≤ 6, find the probability that x + y ≥ 5.

Scusatemi se la sezione dove ho postato non è quella giusta, ma non era propriamente geometria nè combinatoria

Ci vediamo dopodomani
meditans

[fph]

La cosa si sistema con un po' di teoria della misura. In pratica, bisogna definire una "misura di probabilità" sugli insiemi coinvolti nella scelta, cioè una funzione che si comporti seguendo alcuni assiomi, per esempio che se A,B sono disgiunti allora P(A u B) = P(A)+P(B). Poi si possono definire enti come la "misura prodotto" di più eventi, la probabilità condizionata di eventi rispetto ad altri, eccetera. Per esempio, sul lancio di un dado si prende come misura di probabilità quella che assegna il valore 1/6 a ognuno dei sei possibili risultati, e sulla scelta di un punto compreso tra 1 e 4 si assegna il valore 1/3*|b-a| a ogni segmento (a,b) (aperto o chiuso è uguale) (misura di Lebesgue, quella che misura "la lunghezza dei segmenti"). Nota che quale misura viene scelta è un problema di modellizzazione, la matematica parte una volta che questa misura è stata definita.

If 1 ≤ x ≤ 4 and 2 ≤ y ≤ 6, find the probability that x + y ≥ 5.

La parte "sottintesa" qui è che si assuma come misura di probabilità la misura di Lebesgue (rinormalizzata in modo che $ \mu([1,4])=1 $). Quindi il problema, ritradotto nel linguaggio della teoria della misura, è: qual è la misura dell'insieme $ X=\{(x,y) \mid x+y \geq 5\} $ secondo la misura prodotto $ \mu \times \nu $, dove $ \mu=1/3 dx $ sull'insieme $ A=[1,4] $ e $ \nu=1/4dx $ sull'insieme $ B=[2,6] $? (con dx si indica solitamente la misura di Lebesgue)
La risposta si ottiene facendo (in un qualunque modo standard) l'integrale doppio
$ \int \int 1_X d\mu d \nu = 1/12 \int_{x=1}^4 \int_{y=2}^6 1_X(x,y) dx dy $
dove $ 1_X $ è la funzione che vale 1 sull'insieme X e 0 fuori. In pratica, visto che la misura prodotto delle due misure di Lebesgue dx dy è la cara vecchia area di una figura piana, bisogna misurare l'area di una regione del piano particolarmente semplice (l'intersezione del rettangolo [1,4]x[2,6] e del semipiano $ x+y \geq 5 $).

Nota che sto ancora ignorando qualche dettaglio aggiuntivo, come per esempio il fatto che la misura di Lebesgue (lunghezza, area, volume...) non si può definire su proprio tutti gli insiemi.

[fph]

E dimenticavo, queste cose si sistemano tra il secondo e il terzo anno di università, quindi per il problem-solving olimpico non c'è bisogno di formalizzare così, basta tener conto che quando si dice "probabilità" si intende (casi favorevoli) / (casi possibili) se si lavora su un insieme finito, oppure (lunghezza totale dell'insieme dei casi favorevoli) / (lunghezza totale dell'insieme dei casi possibili) se si lavora su una retta, oppure (area favorevole) / (area possibile) sul piano, eccetera.
In ogni caso di solito in molte gare (vedi IMO) è considerata "buona educazione" non proporre problemi in cui ci sia da calcolare probabilità su insiemi infiniti. Anzi, alle IMO mi sembra che la parola probabilità sia proprio bandita.

[EvaristeG]

viewtopic.php?t=9390&highlight=probabilit%E0
Qui c'è un mio post che non spiega nulla ma fa capire quanto brutta possa essere la questione.
Spero che sia sufficiente a farti desistere.

[meditans]

Grazie mille a tutti e due.. aspetterò tempi più maturi per capire bene ma ho colto l'idea generale

meditans