Cesenatico 2008 - problema 3

[TBPL]

Come suggeritomi da Pig, dopo aver avuto qui sopra molti meno punti di quanto mi aspettassi, posto qui il problema e la mia soluzione, sperando che mi possiate indicare eventuali errori, oltre a quelli trovati da me (indicherò in rosso le mie correzioni)

Determinare tutte le funzioni f, defite sull'insieme Z dei numeri reali, che soddisfano le seguenti proprietà:

- per ogni coppia di interi $ (m,n) $ con $ m < n $ si ha $ f(m) < f(n) $

- per ogni coppia di interi $ (m,n) $ esiste un intero $ k $ tale che $ f(m) - f(n) = f(k) $ $ (1) $

Soluzione:
Prendendo $ x=m=n $ nella condizione (1) si ha che esiste un $ l $ tale che $ f(l)=0. $
Inoltre, poiché $ f(l+2) - f(l+1) = f(a) $ è positivo per la crescenza e, sempre per la crescenza, $ l<a<l+2 $, si ha che $ a=l+1 $, da cui $ f(l+2)=2(f(l+1)) $
Per induzione si dimostra che tutti i multipli interi n di $ f(l+1) $ sono definiti dalla funzione. Infatti:
- $ f(l+2)=2(f(l+1)) $, come dimostrato precedentemente
- se $ n(f(l+1)) $ è definito dalla funzione, allora per la condizione (1) si avrà che $ n(f(l+1) + f(l+1) = (n+1)(f(l+1)) $ sarà definito.
Inoltre, si ha che tutti i $ f(l+k)=n(f(l+1)) $. Infatti, per induzione:
- $ f(l+2)=2(f(l+1)) $
- Se fino ad un certo $ k $ si ha che $ f(l+k)=k(f(l+1)), $si avrà anche che $ f(l+k+1)=(k+1)(f(l+1)). $Infatti, per la (1) si ha che $ f(l+k+1) - f(l+k) = f(d). $Per la crescenza, $ f(d) $ sarà positivo e $ f(d) < f(l+k+1) $; quindi $ d<k $ (non so fare il minore o uguale) e quindi f(d) = b(f(l+1)), da cui $ f(l+k+1)=(k+b)(f(l+1)) $. Inoltre, si ha che se b fosse maggiore di 1, si avrebbe che tutti i multipli di $ f(l+1) $ strettamente compresi fra k e k+b non sarebbero definiti, cosa che entra in contraddizione con quanto dimostrato precedentemente.

Simmetricamente e con procedimento analogo si dimostra che tutti i $ f(l-k)=k(f(l-1)) $.
Inoltre, per la (1) e per la crescenza si ha che $ f(l-1) < f(l-1) + f(l+1) < f(l+1) $e quindi che $ f(l-1) + f(l+1)=f(l), $da cui $ f(l-1)=-f(l+1). $

Quindi, le funzioni f(x) sono tutte quelle della forma $ f(x): cx + h $, con c reale positivo e h multiplo intero di c

[Alex89]

Inoltre, poiché $ f(l+2) - f(l+1) = f(a) $ è positivo per la crescenza e, sempre per la crescenza, $ 0<a<l+2 $, si ha che $ a=l+1 $

Questo passaggio non mi torna... prova solo a sostituire f(x)=x e vedi subito che a non può essere uguale a l+1

[TBPL]

Inoltre, poiché $ f(l+2) - f(l+1) = f(a) $ è positivo per la crescenza e, sempre per la crescenza, $ 0<a<l+2 $, si ha che $ a=l+1 $

Questo passaggio non mi torna... prova solo a sostituire f(x)=x e vedi subito che a non può essere uguale a l+1

Là ho sbagliato a ricopiare, avevo scritto $ l < a < l+2 $, ora edito.
Comunque, per $ f(x)=x $ si ha $ l=0 $ e quindi $ f(l+2)=2, f(l+1)=1 $ e $ f(l+2) - f(l+1) = 1 = f(l+1) $

[Pigkappa]

Forse ho trovato cosa può essere che non fila. Non sono in grado di leggere tutto con attenzione perchè ho ancora sonno da ieri, quindi se scrivo assurdità perdonatemi.

Tu hai usato che, se k e n sono una coppia di interi, allora esiste sicuramente un m tale che:

$ \displaystyle f(n) + f(k) = f(m) $

Ma questo non è quello che dice il testo, che dice invece che lì dentro puoi fissare m e n a piacere e allora esiste k. Ad occhio, direi che si può dimostrare che le due condizioni sono equivalenti, perchè si dimostra che se ci sta $ f(n) $ ci sta anche $ -f(n) $. Però questa cosa andrebbe spiegata bene e dimostrata a parte o almeno non data del tutto per scontato, perchè sennò si perdono (tanti) punti.