serie geometrica e logaritmi

[fede90]

Siano $ $a,b,c$ $ interi positivi in progressione geometrica crescente e tali che $ $b-a$ $ sia un quadrato. Se $ $\log_6a+\log_6b+\log_6c=6$ $, trovare $ $a+b+c$ $.

da http://test.imomath.com/

[EUCLA]

$ a,b,c \in \mathbb{N}\vert ak=b, c=bk $ e $ $\log_6a+\log_6b+\log_6c=6$ $.

Sostituendo $ $ c=bk , a=\frac{b}{k} $ si ha:
$ $\log_6\frac{b}{k}+\log_6b+\log_6{bk}=\log_6b-\log_6k+\log_6b+\log_6b+\log_6k $ cioè $ $ 3\log_6b=6 $

$ \log_6b=2 $ dunque $ b=36 $. Ora poichè $ k\vert b\Rightarrow k\in \{1,2,3,4,6,9,18,36\} $ ricordando l'ulteriore condizione $ b-a=q^2 $ si vede che l'unica possibilità è $ k=1 $ cioè $ a=b=c=36 $.

Dunque $ a+b+c=108 $.

Non è che le soluzioni che trovo mi convincan del tutto.. però il testo dice crescente..non strettamente..

[ma_go]

Siano $ $a,b,c$ $ interi positivi che formano una serie geometrica crescente ...

per inciso, si dice "in progressione geometrica", la serie geometrica è un'altra cosa

[darkcrystal]

Mah... dipende da cosa uno può prendere come ragione nella progressione... ad esempio, se ammetti che la ragione sia razionale, trovi {27, 36, 48}

Ciau

[fede90]

Siano $ $a,b,c$ $ interi positivi che formano una serie geometrica crescente ...

per inciso, si dice "in progressione geometrica", la serie geometrica è un'altra cosa

Non è che le soluzioni che trovo mi convincan del tutto.. però il testo dice crescente..non strettamente..

Mah... dipende da cosa uno può prendere come ragione nella progressione... ad esempio, se ammetti che la ragione sia razionale, trovi {27, 36, 48}

Si, forse il testo non è chiarissimo, però penso che la soluzione che il testo richiedeva sia quella di darkcrystal.
Dopo aver trovato che b=36, si trova facilmente che a=11,20,27,32,35 (escludendo il caso a=36). La ragione può quindi essere 36/11, 9/5, 4/3, 9/8 o 36/35. Ma l'unica il cui denominatore divide 36 è 4/3, da cui a=27, b=36, c=48.

Ciao

[SkZ]

Se $ $\log_\alpha {a}+\log_\alpha {b}+\log_\alpha {c}=6$ $
($ $b=\alpha^2$ $),
quante sol abbiamo se la ragione e' razionale?

(e' bello generalizzare i testi)

[SkZ]

$ ~a,b,c\in\mathbb{N}^* $ in progressione geometrica vuol dire $ $b^2=ac$ $
$ $\log_\alpha {a}+\log_\alpha {b}+\log_\alpha {c}=\log_\alpha {abc}=6$ $ ergo $ $b=\alpha^2$ $
dato che abbiamo $ $b-a=n^2$ $
$ $c=\frac{b^2}{a}=\frac{\alpha^4}{\alpha^2-n^2}$ $, quindi

$ $\alpha^2-n^2|\alpha^4$ $ se la ragione e' razionale

Se vogliamo la ragione intera, allora $ $\alpha^2-n^2|\alpha^2$ $