Se p(x)/q(x) è int per infiniti valori, p(x) è multip d q(x)

[antosecret]

Scusate le abbreviazioni nel titolo, ma per intero non ci entrava.

Se io ho una divisione tra polinomi tipo (la sto inventando)$ \frac{x^5+x^3+1}{x+4} $ e so che è intera per infiniti valori di x intero, posso dire in un esercizio (SENZA DIMOSTRARLO) che ciò implica che il polinomio p(x) è multiplo di q(x), cioè che le radici di q(x) sono anche radici di p(x) con almeno la stessa molteplicità?

Questa cosa qui ha un nome particolare?

[pic88]

Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

[mitchan88]

il polinomio p(x) è multiplo di q(x), cioè che le radici di q(x) sono anche radici di p(x) con almeno la stessa molteplicità?

Non è proprio esatta come cosa (almeno che tu non consideri il polinomio come polinomio a coefficienti nella chiusura algebrica del campo che consideri, C da quel che ho capito), ci sono anche i fattori irriducibili.

[antosecret]

Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

Non ho capito cosa hai detto.

Non è proprio esatta come cosa (almeno che tu non consideri il polinomio come polinomio a coefficienti nella chiusura algebrica del campo che consideri, C da quel che ho capito), ci sono anche i fattori irriducibili.

Io considero anche le radici complesse del polinomio, quindi non dovrebbero esserci problemi in questo senso.[/quote]

[Oblomov]

Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

Non ho capito cosa hai detto.

Provo a interpretare (pic88 mi corregga se ho frainteso).
Supponiamo che P(x) non sia divisibile per Q(x): avremo dunque
$ $\frac {P(x)}{Q(x)}=T(x)+\frac {R(x)}{Q(x)}$ $ dove T e R sono chiaramente polinomi a coefficienti interi. Sappiamo che per infiniti valori interi di x (che chiamiamo "validi") il rapporto a primo membro è intero: quindi i valori "validi" di x hanno valore assoluto grande a piacere (tenendo conto che consideriamo x avente valori interi relativi). Ma per |x| sufficientemente grande prima o poi la frazione $ $\frac {R(x)}{Q(x)}$ $ ha valore assoluto minore di 1 (ricorda che il grado di R deve essere minore di quello di Q), poichè per |x| che tende ad infinito essa tende a 0; questo si dimostra facilmente coi limiti. Quindi quella frazione (nell'ipotesi che P sia appunto non divisibile per Q) vale "qualcosa di intero" ( T(x) lo è sicuramente quando x è intero) + "qualcosa compreso tra -1 e 1" (la frazione a secondo membro, per quanto appena detto). Il risultato non può certamente essere un numero intero... a meno che il quid compreso tra -1 e 1 non sia in realtà pari a 0. Ciò deve inoltre valere per tutti gli infiniti x aventi valori assoluti maggiori di una certa quantità. Ciò prova che il polinomio R è sempre pari a 0.

Tutto questo considerando che sono alquanto stanco e che posso aver detto delle baggianate stratosferiche.

Spero di non averti confuso ancora di più le idee.

Saluti
Ob

[fph]

hmmm... non serve da qualche parte che q(x) sia monico?

[Oblomov]

Forse sono proprio scimunito ma non capisco perché ciò sia necessario... quale parte del mio ragionamento è fallata?

[fph]

Se Q non è monico T e R non sono a coefficienti interi "chiaramente".

[Oblomov]

Mumble! Ci ho pensato or ora e non hai tutti i torti
Ma adesso cosa dovrei correggere nel mio post per far quadrare il tutto?
(non credo che infilare con nonchalance la parola "monico" sia sufficiente)

[fph]

In effetti quando mi è capitato di "usare" questo lemma mi serviva solo per polinomi monici, nel caso generale servirebbe un po' di "esplorazione", non so con esattezza cosa succeda. Prova a prendere due polinomi non monici e a sperimentare un po'... quali casi puoi escludere subito?

[antosecret]

Grazie mille a tutti.