OliForum Matematico

Scusate le abbreviazioni nel titolo, ma per intero non ci entrava.

Se io ho una divisione tra polinomi tipo (la sto inventando)$ \frac{x^5+x^3+1}{x+4} $ e so che è intera per infiniti valori di x intero, posso dire in un esercizio (SENZA DIMOSTRARLO) che ciò implica che il polinomio p(x) è multiplo di q(x), cioè che le radici di q(x) sono anche radici di p(x) con almeno la stessa molteplicità?

Questa cosa qui ha un nome particolare?

Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

antosecret ha scritto:il polinomio p(x) è multiplo di q(x), cioè che le radici di q(x) sono anche radici di p(x) con almeno la stessa molteplicità?

Non è proprio esatta come cosa (almeno che tu non consideri il polinomio come polinomio a coefficienti nella chiusura algebrica del campo che consideri, C da quel che ho capito), ci sono anche i fattori irriducibili.

pic88 ha scritto:Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

Non ho capito cosa hai detto.

mitchan88 ha scritto:Non è proprio esatta come cosa (almeno che tu non consideri il polinomio come polinomio a coefficienti nella chiusura algebrica del campo che consideri, C da quel che ho capito), ci sono anche i fattori irriducibili.

Io considero anche le radici complesse del polinomio, quindi non dovrebbero esserci problemi in questo senso.[/quote]

antosecret ha scritto:

pic88 ha scritto:Per dimostrarlo basta vedere che r/q, prima o poi, entra in ]-1,1[ se $ -\infty<\deg r< \deg q $, quindi r =0

Non ho capito cosa hai detto.

Provo a interpretare (pic88 mi corregga se ho frainteso).
Supponiamo che P(x) non sia divisibile per Q(x): avremo dunque
$ $\frac {P(x)}{Q(x)}=T(x)+\frac {R(x)}{Q(x)}$ $ dove T e R sono chiaramente polinomi a coefficienti interi. Sappiamo che per infiniti valori interi di x (che chiamiamo "validi") il rapporto a primo membro è intero: quindi i valori "validi" di x hanno valore assoluto grande a piacere (tenendo conto che consideriamo x avente valori interi relativi). Ma per |x| sufficientemente grande prima o poi la frazione $ $\frac {R(x)}{Q(x)}$ $ ha valore assoluto minore di 1 (ricorda che il grado di R deve essere minore di quello di Q), poichè per |x| che tende ad infinito essa tende a 0; questo si dimostra facilmente coi limiti. Quindi quella frazione (nell'ipotesi che P sia appunto non divisibile per Q) vale "qualcosa di intero" ( T(x) lo è sicuramente quando x è intero) + "qualcosa compreso tra -1 e 1" (la frazione a secondo membro, per quanto appena detto). Il risultato non può certamente essere un numero intero... a meno che il quid compreso tra -1 e 1 non sia in realtà pari a 0. Ciò deve inoltre valere per tutti gli infiniti x aventi valori assoluti maggiori di una certa quantità. Ciò prova che il polinomio R è sempre pari a 0.

Tutto questo considerando che sono alquanto stanco e che posso aver detto delle baggianate stratosferiche.

Spero di non averti confuso ancora di più le idee.

Saluti
Ob

hmmm... non serve da qualche parte che q(x) sia monico?

Forse sono proprio scimunito ma non capisco perché ciò sia necessario... quale parte del mio ragionamento è fallata?

Se Q non è monico T e R non sono a coefficienti interi "chiaramente".

Mumble! Ci ho pensato or ora e non hai tutti i torti
Ma adesso cosa dovrei correggere nel mio post per far quadrare il tutto?
(non credo che infilare con nonchalance la parola "monico" sia sufficiente)

In effetti quando mi è capitato di "usare" questo lemma mi serviva solo per polinomi monici, nel caso generale servirebbe un po' di "esplorazione", non so con esattezza cosa succeda. Prova a prendere due polinomi non monici e a sperimentare un po'... quali casi puoi escludere subito?

Grazie mille a tutti.