"Sia $ f $ una funzione non identicamente nulla tale che per ogni coppia di numeri $ x, y $ si abbia
$ f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x) \cdot f(y) $.
Si dimostri che per ogni $ x $ razionale si ha $ f(x)=a^{x^2} $, con $ a $ costante positiva qualunque."
Ecco la soluzione:
Ponendo $ x=y $, si ha $ f(\sqrt{2}x)=[f(x)]^2 $. Più in generale, per ogni intero $ n $ si ottiene allo stesso modo
(1) $ f(\sqrt{n}x)=[f(x)]^n $.
Ponendo in quest'ultima $ n=p^2, x=1 $, ove $ p $ è un intero, si avrà
(2) $ f(p)=[f(1)]^{p^2}=a^{p^2} $,
con $ a=f(1)=costante $.
Sia ora $ x=\frac{p}{q} $ un numero razionale. Ponendo nell'equazione (1) $ n=q^2 $ e $ x=\frac{p}{q} $ si ha $ f(p)=[f(\frac{p}{q})]^{q^2} $ e tenendo conto della (2) si ottiene $ f(x)=a^{x^2} $.
Quello che non ho capito di questa soluzione è la prima parte.
Se si pone $ x=y $ non dovrebbe venire fuori $ f(\sqrt{2}|x|)=[f(x)]^2 $? Perché non ha messo il modulo?
Inoltre, che vuole dire quando dice
Che cosa fa? Prende $ x=ny $? Non credo perché dovrebbe venire fuori un $ n+1 $...quindi prende $ n $ variabili da mettere nella funzione, cioè fa na cosa del tipo $ f(\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) $? Però chi glielo dice che con $ n $ variabili poi l'uguaglianza continua a valere?Più in generale, per ogni intero $ n $ si ottiene allo stesso modo
(1) $ f(\sqrt{n}x)=[f(x)]^n $.
Voi che le olimpiadi le mangiate a colazione, potreste per favore chiarirmi le idee?
Grazie.
