(a_n) consecutivi

[fede90]

Definiamo la sequenza $ $(a_n)$ $ nel modo seguente

$ \[a_n=n+\{\sqrt{n}\}, \quad n\in \mathbb{N}^{+}\] $

dove $ $\{n\}$ $ indica l'intero più vicino a $ $n$ $ (si arrotonda per eccesso quando si ha la parte frazionaria uguale a 1/2, cioè $ $\{2.5\}=3$ $)

Trovare il più piccolo intero $ $k$ $ per cui i termini $ $a_k,a_{k+1},\dots,a_{k+2000} $ formano una sequenza di 2001 interi consecutivi

[platz]

se due termini sono consecutivi vuol dire che
$ [\sqrt{k}\ ]=[ \sqrt{k+1}\ ] $
e quindi si intuisce che bisogna cercare due quadrati consecutivi che distano almeno 2001 ovvero
$ (k+1)^2-k^2>=2001 $ da cui si ha k>=1000 -> k minimo sarebbe 1000000

infatti $ 1001^2=1002001 $ e $ 1000^2=1000000 $ e si vede che la loro differenza è 2001;
tuttavia così ottengo 2000 (e non 2001) termini consecutivi e allora concludo che $ k_{min}=1001^2=1002001 $

giusto??

il mio ragionamento funge se si approssima sempre per difetto..chiedo scusa

[Ale90]

L'intero richiesto dovrebbe essere $ 1001001 $.

Per avere valori consecutivi, dato che $ n $ aumenta sempre di 1, si deve avere che l'approssimazione di $ \sqrt{n} $ sia costante.

Quanti sono i valori interi $ \displaystyle x $ tali che $ (m- \frac{1}{2})^2 $$ \leq x < $$ (m+ \frac{1}{2})^2 $? Tutti quelli tra $ m^2-m+\frac{1}{4} $ e $ m^2+m+\frac{1}{4} $, ovvero tutti quelli tra $ m^2-m+1 $ e $ m^2+m $ (estremi inclusi), ovvero $ 2m $.

Il testo ci chiede quando si abbia $ 2m \geq 2001 $ per la prima volta; ciò avviene per $ m = 1001 $ e cioè per $ k = m^2-m+1 = 1001001 $.

Edit: giuro che la stavo mandando poco prima delle due ma mi è caduta la connessione!