Se supponiamo che le tre palline siano identiche per massa e raggio, il problema non è difficile (a parte la lunghezza dei calcoli
)
Allora al momento dell'urto i centri di massa delle tre palle sono i vertici di un tirangolo equilatero. Se prendiamo come asse x la direzione della palla 1, allora le direzioni delle palle 2 e 3 dopo l'urto formano un angolo di 30° con l'asse x, mentre la palla 1 subisce un urto "simmetrico" e si muove sempre nella stessa direzione.
A questo punto s'impostano tre equazioni: la conservazione dell'energia e la conservazione della quantità di moto lungo l'asse x e lungo l'asse y.
$
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{c}
\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}mv_3^2 \\
mv_0=mv_1+\cos 30°mv_2+\cos 30°mv_3 \\
\sin 30°mv_2=\sin 30°mv_3
\end{array}
\right .
\end{displaymath}
$
Dove $ $m$ $ è la massa delle tre palline, $ $v_0$ $ la velocità iniziale della palla 1 e $ $v_1$ $, $ $v_2$ $, $ $v_3$ $ le velocità dopo l'urto delle palle 1, 2 e 3. Dall'ultima equazione si ricava $ $v_2=v_3$ $ e quindi si ricava
$
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{c}
v_0^2=v_1^2+2v_2^2 \\
v_0=v_1+\sqrt{3}v_2
\end{array}
\right .
\end{displaymath}
$
Cioè $ $v_1=v_0-\sqrt{3}v_2$ $, che sostituita nella prima equazione dà
$ v_0^2=v_0^2+2\sqrt3v_0v_2+3v_2^2+2v_2^2 $
$ $5v_2^2-2\sqrt3v_0v_2=0\Rightarrow v_2=v_3=\frac{2\sqrt3}{5}v_0$ $
$ $v_1=v_0-\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt3}{5}v_0=-\frac{1}{5}v_0$ $
E dato che $ $v_0=10\,m/s$ $ si ottiene $ $v_1=-2\,m/s$ $ (il segno negativo indica che la palla 1 torna indietro dopo l'urto) e $ $v_2=v_3=6,93\, m/s$ $
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
