OliForum Matematico

Buongiorno a tutti gli appassionati e frequentatori del forum. Vi proporrò di seguito un problemino di meccanica tratto dall'Halliday-Resnick-Krane (per chi possedesse il libro P17 pag 141) riguardante la teoria degli urti. Spero che per voi possa risultare semplice, visto il livello degli utenti, poichè per me è risultato alquanto strano e pur avendo trovato delle soluzioni immediate, non sono quelle riportate dalle soluzioni. Premesso ciò, passiamo ai fatti:

Una palla con velocità iniziale 10.0 m/s urta elasticamente,senza attrito, due palle identiche a contatto tra loro, ferme e allineate simmetricamente, con asse perpendicolare rispetto alla direzione iniziale della palla 1. Trovare le velocità finali delle tre palle dopo l'urto (suggerimento: in assenza di attrito ogni impulso è diretto lungo la linea che congiunge i centri delle palle che si urtano, normalmente alle loro superifici di contatto.)

Il problema non specifica le masse di ciascuna, ma solo l'identità delle rispettive ultime due. Per cui si assumano palle completamente identiche e masse identiche

In caso occorra uno schema per chiarire le idee e non fosse chiara la descrizione, sarò lieto di postarlo.

Buona risoluzione

puoi postare lo schema?grazie

Vi allego lo schema, come promesso.
Spero sia chiaro (fatto con il paint)

Se supponiamo che le tre palline siano identiche per massa e raggio, il problema non è difficile (a parte la lunghezza dei calcoli )
Allora al momento dell'urto i centri di massa delle tre palle sono i vertici di un tirangolo equilatero. Se prendiamo come asse x la direzione della palla 1, allora le direzioni delle palle 2 e 3 dopo l'urto formano un angolo di 30° con l'asse x, mentre la palla 1 subisce un urto "simmetrico" e si muove sempre nella stessa direzione.
A questo punto s'impostano tre equazioni: la conservazione dell'energia e la conservazione della quantità di moto lungo l'asse x e lungo l'asse y.
$ \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}mv_3^2 \\ mv_0=mv_1+\cos 30°mv_2+\cos 30°mv_3 \\ \sin 30°mv_2=\sin 30°mv_3 \end{array} \right . \end{displaymath} $
Dove $ $m$ $ è la massa delle tre palline, $ $v_0$ $ la velocità iniziale della palla 1 e $ $v_1$ $, $ $v_2$ $, $ $v_3$ $ le velocità dopo l'urto delle palle 1, 2 e 3. Dall'ultima equazione si ricava $ $v_2=v_3$ $ e quindi si ricava
$ \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{c} v_0^2=v_1^2+2v_2^2 \\ v_0=v_1+\sqrt{3}v_2 \end{array} \right . \end{displaymath} $
Cioè $ $v_1=v_0-\sqrt{3}v_2$ $, che sostituita nella prima equazione dà
$ v_0^2=v_0^2+2\sqrt3v_0v_2+3v_2^2+2v_2^2 $
$ $5v_2^2-2\sqrt3v_0v_2=0\Rightarrow v_2=v_3=\frac{2\sqrt3}{5}v_0$ $
$ $v_1=v_0-\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt3}{5}v_0=-\frac{1}{5}v_0$ $
E dato che $ $v_0=10\,m/s$ $ si ottiene $ $v_1=-2\,m/s$ $ (il segno negativo indica che la palla 1 torna indietro dopo l'urto) e $ $v_2=v_3=6,93\, m/s$ $

spettacolo!!!

Un grazie di cuore a Rigel, per la disponibilità. Sì in effetti il problema non era impossbile, solo che avevamo dei dubbi sui risultati. Grazie ancora e.. alla prossima (o meglio al prossimo problema)