Rettangolo che si spezza
Rettangolo che si spezza
Un rettangolone è ritagliato in finiti rettangolini, coi lati paralleli ai suoi. Dimostrare che, se nessun rettangolino è completamente interno al rettangolone, allora c'è un taglio verticale o uno orrizontale che divide il rettangolone in due.
Lemma: ogni estremo di un segmento è vertice di almeno altri due segmenti (ovviamente 2 su 3 saranno allineati), altrimenti avremmo che il perimetro di un rettangolo ha in qualche punto un angolo di 270 o 360 gradi.
Vado per assurdo. Chiamata h l'altezza del rettangolone, prendo in considerazione un segmento verticale minore di h interno al rettangolone. Esso esiste, se infatti non esistesse tutti i rettangolini dovrebbero avere entrambi i lati verticali sui lati del rettangolone, e quindi ci sarebbe almeno un segmento che taglierebbe il rettangolo. Suppongo che questo segmento non appartenga a un segmento più lungo, altrimenti avrei scelto quello, quindi entrambi i suoi estremi saranno estremi di due segmenti orizzontali per il lemma. Se alcuni di questi segmenti arrivano fino ai lati del rettangolone, è fatta (non sto a specificare i vari casi, ricadono tutti in un assurdo o in ciò che segue). Se non ci arrivano, prendo il più corto dei due segmenti a sinistra, che wlog sta in basso, dal cui estremo sinistro partono due verticali per il lemma. Se quella sopra tocca il segmento orizzontale più lungo, abbiamo un rettangolo totalmente interno. Se non lo tocca, per il lemma partono due orizzontali. Il procedimento può essere ripetuto girando a spirale, ma poichè il numero di rettangoli, e quindi di segmenti, è finito, prima o poi la spirale si dovrà chiudere, e avremo un rettangolo totalmente interno.
Vado per assurdo. Chiamata h l'altezza del rettangolone, prendo in considerazione un segmento verticale minore di h interno al rettangolone. Esso esiste, se infatti non esistesse tutti i rettangolini dovrebbero avere entrambi i lati verticali sui lati del rettangolone, e quindi ci sarebbe almeno un segmento che taglierebbe il rettangolo. Suppongo che questo segmento non appartenga a un segmento più lungo, altrimenti avrei scelto quello, quindi entrambi i suoi estremi saranno estremi di due segmenti orizzontali per il lemma. Se alcuni di questi segmenti arrivano fino ai lati del rettangolone, è fatta (non sto a specificare i vari casi, ricadono tutti in un assurdo o in ciò che segue). Se non ci arrivano, prendo il più corto dei due segmenti a sinistra, che wlog sta in basso, dal cui estremo sinistro partono due verticali per il lemma. Se quella sopra tocca il segmento orizzontale più lungo, abbiamo un rettangolo totalmente interno. Se non lo tocca, per il lemma partono due orizzontali. Il procedimento può essere ripetuto girando a spirale, ma poichè il numero di rettangoli, e quindi di segmenti, è finito, prima o poi la spirale si dovrà chiudere, e avremo un rettangolo totalmente interno.
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Tibor Gallai
- Messaggi: 1776
- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Non ho letto la dimostrazione qui sopra perché è lunga.
Prendiamo un rettangolino della partizione che ha un vertice in comune col rettangolone. Se ha meno di 2 lati "interni", fine. Altrimenti, ha 2 lati interni a e b, almeno uno dei quali (per esempio a) "prosegue" diventando lato di un altro rettangolo della partizione. Eliminiamo b: quella che otteniamo è ancora una partizione in rettangolini valida, ma con un rettangolino in meno. Ripetere fino ad esaurimento scorte (o esaurimento nervoso, in qualche caso).
Prendiamo un rettangolino della partizione che ha un vertice in comune col rettangolone. Se ha meno di 2 lati "interni", fine. Altrimenti, ha 2 lati interni a e b, almeno uno dei quali (per esempio a) "prosegue" diventando lato di un altro rettangolo della partizione. Eliminiamo b: quella che otteniamo è ancora una partizione in rettangolini valida, ma con un rettangolino in meno. Ripetere fino ad esaurimento scorte (o esaurimento nervoso, in qualche caso).