Un Usamo febbraiesco

[Carlein]

E' piuttosto semplice, quindi pregherei chiunque ricavi la soluzione in tre secondi di lasciarlo agli altri. Dati tre interi distinti a,b,c e P un polinomio a coefficenti interi, dimostrare che non si può mai avere ciò: $ P(a)=b;P(b)=c;P(c)=a. $
Spero non sia mai stato postato prima(se qualcuno si accorgesse di ciò, se me lo fa notare per mp,così lo cancello,gliene sono molto grato.)

[salva90]

generalizzazione: dimostrare che non esistono $ a_1, a_2, \cdots a_n $ interi DISTINTI tali che $ P(a_i)=a_{i+1} $ [con $ ~ i<n $] e $ P(a_n)=a_1 $

[comunque la tua versione l'avevo già postata io, ma molto tempo fa, quindi direi di lasciarla comunque per i nuovi utenti]

[matteo16]

E' piuttosto semplice, quindi pregherei chiunque ricavi la soluzione in tre secondi di lasciarlo agli altri. Dati tre interi distinti a,b,c e P un polinomio a coefficenti interi, dimostrare che non si può mai avere ciò: $ P(a)=b;P(b)=c;P(c)=a. $
Spero non sia mai stato postato prima(se qualcuno si accorgesse di ciò, se me lo fa notare per mp,così lo cancello,gliene sono molto grato.)

ma devono essere anche primi tra loro o no?

[Carlein]

@matteo 16: no devono essere solo interi e distinti.
@salva:ok; grazie mille di aver applicato questa norma del buon senso, che in alcuni casi ad altri sfugge e si affrettano a linkare a tutti i costi, anche se il problema può risulatare di nuovo interessante a causa del tempo trascorso.

[travelsga]

Allora...
p(a)=b, p(b)=c, p(c)=a, siccome p è un polinomio a coefficienti interi,

a-b |p(a)-p(b) da cui (a-b)|(b-c)
c-a |p(c)-p(a) da cui (c-a)|(a-b)
b-c | p(b)-p(c)da cui (b-c)|(c-a)

sappiamo che se a|b e c|d allora ac|bd quindi (a-b)(b-c)|(b-c)(c-a) ne segue
(a-b)|(c-a), ma (c-a)|(a-b) e pertanto (a-b)=(c-a), a=(c+b)/2. Analogamente deduco b=(a+c)/2 e c=(a+b)/2 questo mi riporta ad un sistema le cui soluzioni sono a=0, b=0, c=0, assurdo in quanto a,b,c sono interi distinti. non esiste quindi un polinomio del genere.

Scusate ma non so utilizzare bene il latex.

[edriv]

Se $ ~ a \mid b $ e $ ~ b \mid a $ allora puoi solo dire che $ ~ |a| = |b| $.

Per concludere elegantemente puoi dire che:
$ ~ a-b \mid b-c \mid c-a \mid a-b $ implica che nessuna divisione è "stretta", cioè $ ~ |a-b| = |b-c| = |c-a| $. Ora a,b,c sono tre punti distinti della retta che formano un triangolo equilatero. Ciò implica che la retta, nonostante molti se la immaginino tale, non è dritta, bensì nel suo infinito percorso forma almeno tre angoli di 60°.

[salva90]

ne segue
$ (a-b)|(c-a) $, ma $ (c-a)|(a-b) $ e pertanto $ (a-b)=(c-a) $

Giusto per fare i pignoli, potrebbe anche essere $ a-b=-(c-a) $, cosa che si esclude facilmente perchè darebbe $ ~b=c $


EDIT: preceduto da edriv

[Carlein]

vabbeh la versione n generico si dimostra un pò allo stesso modo.cioè posizionando tutti i numeri su una stessa retta , ci siaccorge presto che dato il verso di percorrenza dal primo al secondo, questo verso verrà rispettato necessariamente per passare dal secondo al terzo e così via...altrimenti si avrebbe ripetizione,e assurdo con le ipotesi...poi si vede che per piazzare l'ultimo se vogliamo fare in modo che conservi la distanza "unità di misura" dal primo, non lo possiamo piazzare dopo l'ultimo,e tantomeno prima del primo(nel verso assegnato)..(oppure ammettendo questo si hanno strambe deformazioni della retta e pittoreschi assurdi ...vabbeh ad ogni modo è la stessa cosa), perchè al momento stiamo studiando n>3 o n=3....ma ora il caso di n=2 non si può attacare a questo modo...io non mi ci sono messo tanto, però a primo occhio non mi sembra così ovvio che dati due interi a e b non esiste un polinomio a coefficenti interi tale che $ P(a)=b $ e P(b)=a se è una stupidata, e mi è sfuggita un'ovvietà, e se ho detto altre stupidate, chiedo scusa....

[salva90]

è colpa mia che ho scordato di specificare n>2

per tutti i nuovi: tenete sempre a mente l'idea alla base di questo problema (ossia che per i polinomi a coeff. interi a-b|P(a)-P(b) ) perchè è importantissima e capiterà spesso