Cassa cubica is going to ... ?

[EUCLA]

Una cassa cubica di lato $ 1,2 m $ contiene un pezzo di macchina di forma tale che il centro di gravità della cassa con il suo contenuto si trovi $ 0,30 m $ sopra il suo centro geometrico.
La cassa è ferma su uno scivolo inclinato di un angolo $ \theta $ sul piano orizzontale.
Aumentando l'angolo, a partire da $ 0 $ si arriverà a un valore, superato il quale la cassa comincierà a scivolare giù per lo scivolo, oppure si rovescerà.
Quale dei due casi si verificherà per un valore del coefficiente d'attrito statico di $ 0,60 $ e a che angolo $ \theta $ avverrà l'evento?

Mi è parso carino, buon lavoro!

[String]

bah, ci provo ma sicuramente dirò qualche cavolata...
La forza di attrito statico agente sulla cassa posta sul piano inclinato vale
$ F_a= \mu \cdot mgcos\theta $
Affinchè la forza di attrito e la forza peso del corpo si equilibrino deve essere:
$ mgsin\theta =\mu \cdot mgcos\theta $ cioè
$ tan\theta= \mu $ e quindi $ \theta =30,96° $.
Per un'inclinazione maggiore di questo valore trovato, la cassa comincia a muoversi.
Consideriamo i momenti delle forze agenti sul corpo(forza peso e attrito). Affinche ci sia equilibrio deve essere:
$ mgsin\theta \cdot 0,30m=\mu \cdot mgcos\theta \cdot 0,60m $ cioè
$ \displaystyle tan \theta=\frac{\mu \cdot 0,60m}{0,30m} $
dove 0,30m è la distanza dal centro geometrico della cassa su cui agisce la forza peso e 0,60 è invece la distanza del centro geometrico della cassa dalla sua superficie, ovvero dove si suppone applicata la forza d'attrito. Si trova quindi:
$ \theta =50,19° $
Al di sopra di questo valore la cassa dovrebbe rotolare...
Vabbè ci ho provato...

[EUCLA]

Allora ho sbagliato l'angolo per cui comincia a rotolare. Ne avevo fatto una questione geometrica (della verticale dal baricentro che cade fuori dalla cassa) senza considerare l'attrito.
Però mi fido del tuo procedimento, ho visto che non te la cavi per niente male in fisica . Grazie

[stefanos]

String: se non mi sbaglio l'attrito e la componente orizzontale della forza peso hanno momenti concordi (tendono a ruotare nella stessa direzione), o no?

Io procedo in questo modo (anche se mi vengono valori diversi... =/):

Innanzitutto, la scatola inizia a muoversi quando $ \tan(\theta) = 0.6 $ (cioe` $ \theta = 30.96^{o} $). Consideriamo il punto di intersezione della forza peso e del piano inclinato: se questo cade dentro la base della scatola, questa scivola ma non rotola (sempre che $ \theta > \tan^{-1}(0.6) $), se invece cade fuori dalla base, la scatola rotola.
Troviamo la lunghezza del segmento che congiunge la proiezione del centro di massa della scatola sul piano inclinato e il punto di intersezione del piano con la forza peso: questa e` $ (1.2 + 0.3) \tan(\theta) $. Studiamo prima il momento in cui la scatola inizia a muoversi ($ \tan(\theta) = 0.6 $): abbiamo che la lunghezza del segmento e` $ 0.9 \cdot 0.6 = 0.54 < 0.6 $, quindi il punto e` dentro la base. Troviamo adesso l'angolo critico, quello che fa rotolare la scatola: poniamo $ 0.6 = 0.9 \tan(\theta) $, e ottentiamo $ \theta = 33.69^{o} $.

Spero che non ci siano troppi errori!

[Rigel]

@String: per quanto riguarda la seconda parte, non ha molto senso calcolare i momenti delle forze rispetto al centro geometrico del corpo, che non è nè il centro di massa, nè il punto attorno a cui avviene la rotazione.
In questo caso bisogna vedere quando la verticale del baricentro cade fuori dalla base d'appoggio (come hanno già detto EUCLA e stefanos). Questo deriva dal fatto che il momento della componente orizzontale del peso rispetto al vertice attorno a cui ruota la cassa deve superare il momento componenete verticale del peso.