quanta disparità nel mondo dei polinomi!

[salva90]

Dato un polinomio $ ~P(x) $ a coefficienti interi, sia $ ~o(P) $ il numero di coefficienti dispari in esso presenti.

Siano $ ~i_1, \cdots, i_n $ interi tali che $ ~0\le i_1<i_2<\cdots<i_n $.

Sia $ ~Q_i(x)=(x+1)^i $

provare che $ ~o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}) $


io non sono riuscito a risolverlo, ho dovuto andarne a vedere la soluzione dopo lunghi inutili tentativi. lo posto perchè dalla soluzione emerge qualche fatto 'noto' istruttivo

good work

[marcuz]

Per $ i_1 = 0 $ si ha $ o(Q_{i_1}) = 1 $. Dal momento che i termini di $ Q_{i_n} $ sono $ i_n + 1 $ e quello di grado $ i_n $ ha coefficiente dispari $ 1 \le o(Q_{i_1} + Q_{i_2} + \dots + Q_{i_n}) \le i_n + 1 $ e quindi la disuguaglianza è verificata.

Per $ i_1 \ne 0 $ non so