un leone in piscina

[matteo16]

è un problema che ho trovato sul forum degli studenti del Sant'Anna, quindi forse lo conoscete già.
a me è parso semplice però, da come commentavano una soluzione data da un utente, potrebbe non essere così banale.


vi è un nuotatore in mezzo ad una piscina a forma di cerchio di raggio R. sul bordo vi è un leone che può camminare con velocità costante(in modulo).
lo scopo è quello di toccare il bordo della piscina prima che il leone raggiunga il medesimo.
qual è, quindi, la velocità minima che deve avere il nuotatore per raggiungere il suo scopo?

io ho pensato che l'uomo può muoversi alla velocità del leone in direzione di un raggio della piscina. così che, ad una minore distanza dall'obiettivo e alla stessa velocitàa del leone, il tempo che impiega è minore di quello di quest'ultimo.
solo che questa è una velocità, non è la più piccola.

avete qualche suggerimento? non dico di risolverlo, solo qualche suggerimento.
avevo pensato anche di farli arrivare ad un punto dove uno insegue l'altro(idea un po' strana però forse valida, data la costanza delle velocità).

[pic88]

viewtopic.php?t=7952

[matteo16]

viewtopic.php?t=7952

beh sì sembra simile ma a leggerlo così ci sono dati che nel mio non ci sono come quattro volte la velocità e che il nuotatore può sempre arrivare
qui dice di calcolare la velocità minima. non è diverso?

[pic88]

E' anche vero che la discussione ha avuto uno sviluppo del tipo "possiamo fare di meglio? perché proprio 4 e non $ \pi +1 $ ? e perché non ancora di più?". E così è stato determinato il minimo affinché vinca il demone, fissando a 1 la velocità del tizio.

[SkZ]

non proprio: tieni una variabile in piu' e poi la sistemi affinche' il leone non si mangi l'uomo

[Anlem]

Per il nuotatore la distanza da percorrere è sempre la stessa (r), per il leone può variare; quindi al nuotatore conviene far percorre al leone la distanza massima (cioè una semicirconferenza).
Il tempo impiegato dal leone deve essere maggiore di quello impiegato dal nuotatore quindi:

$ t_l > t_n $

$ \frac{d_l} {v_l} > \frac{d_n} {v_n} $

$ \frac{\pi r} {v_l} > \frac{r} {v_n} $

$ \frac{\pi r} {v_l} - \frac{r} {v_n} > 0 $

associamo l'equazione

$ \frac{\pi r} {v_l} - \frac{r} {v_n} = 0 $

$ v_n ( \pi r) - v_l r = 0 $

$ r ( \pi v_n - v_l) = 0 $

se r è diverso da 0 (e penso proprio che nessuno costruirebbe una piscina con r=0, anche se è molto facile da costruire )

$ \pi v_n - v_l = 0 $

$ \pi v_n = v_l $

$ v_n = \frac {v_l} {\pi} $

$ v_n > \frac {v_l} {\pi} $

[Anlem]

Nel post precedente non penso di avere utilizzato le abbreviazioni esatte. Comunque t = tempo, d=distanza, v= velocità, l=leone, n=nuotatore