Geometria solida

Quarcky · Messaggio da **Quarcky** » 01 gen 1970, 01:33

Provate questo: trovare una formula generale per calcolare il numero di diagonali totali di un solido regolare in funzione del numero di facce e del numero di spigoli, quindi del tipo:
 
 Numero diagonali = F(f,s)
 
 f=facce del poligono (sono tutte uguali xke il solido è regolare)
 s=numero spigoli del solido <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 
 (che poi sarebbe la soluzione generale dell\'esercizio 13 delle provinciali x il triennio) <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Non vorrei deluderti, ma i \"solidi regolari\" (presumo tu intenda i poliedri regolari) sono solo 5, quindi non avrebbe molto senso cercare una formula generale per il numero di diagonali...
 
 Comunque, eccoti la risposta per una classe un po\' più ampia di solidi: quelli che hanno lo stesso numero di spigoli uscenti da ogni vertice, e le cui facce hanno lo stesso numero di lati.
 Supponiamo che il solido abbia F facce, V vertici e S spigoli. Da ogni vertice partono esattamente 2S/V spigoli, il che significa che ogni vertice è in comune a 2S/V facce. Se prendiamo un singolo vertice, vediamo che forma una diagonale con ogni altro vertice, tranne per quelli che appartengono alle 2S/V facce con cui confina. 2 facce possono avere al più 2 vertici in comune (altrimenti coinciderebbero), e le coppie di facce adiacenti ne hanno esattamente 2 in comune, di cui uno è il vertice che stiamo considerando. Una faccia ha 2S/F lati e quindi, facendo due conti, da ogni vertice partono V-[(2S/F)(2S/V)-2S/V-2S/V+1] = V-(4S/V)(S/F-1)-1 diagonali. Per quelle totali, basta moltiplicare per V/2, e viene fuori [V(V-1)/2]-[2S(S/F-1)]. Se la vuoi solo in funzione di F e S, basta sostituire V=S-F+2, che è quanto dice la formula di Eulero.[addsig]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco, mi sono accorto che la formula che ho scritto sopra vale, più in generale, per i poliedri convessi le cui facce hanno lo stesso numero di lati: l\'ipotesi sugli spigoli uscenti dai vertici non è necessaria. E credo che non si possa andare più in là di così, senza avere qualche informazione sul numero di lati delle facce (si potrebbero trovare 2 poliedri con lo stesso numero di facce e vertici, ma con un numero diverso di diagonali). Volendo generalizzare al massimo, se conosciamo la somma dei quadrati dei lati di ogni faccia (chiamiamola L), le diagonali sono V(V-1)/2 - L/2 + 2S. Nel caso in cui tutte le facce hanno lo stesso numero di lati, vale L = (4S^2)/F, e si riottiene la formula di prima.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-02-25 15:44, Antimateria wrote:
 (si potrebbero trovare 2 poliedri con lo stesso numero di facce e vertici, ma con un numero diverso di diagonali)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 Ed infatti li ho trovati: uno ha 4 facce triangolari, 3 quadrangolari ed una esagonale; l\'altro ne ha 3 triangolari, 4 quadrangolari ed una pentagonale. Entrambi sono convessi ed hanno 8 facce e 9 vertici, ma un diverso numero di diagonali. Dichiaro quindi chiuso il discorso: non si può trovare una formula generalizzata che fornisca il numero di diagonali di un poliedro qualsiasi, in funzione solo del numero di facce, di vertici e di spigoli.
 
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