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Determinare tutte le terne di interi positivi $ $(x,y,z) $ tali che

$ \begin{cases} 45xy^2=8z^3 \\ xyz<1000 \\ \end{cases} $

bestiedda ha scritto:Determinare tutte le terne di interi positivi $ $(x,y,z) $ tali che

$ \begin{cases} 45xy^2=8z^3 \\ xyz<1000 \\ \end{cases} $

E' un po' che non faccio esercizi...vediamo se nn ho disimparato tutto

$ 45xy^2=8z^3 $$ \Rightarrow 3^2 \cdot 5 \cdot xy^2 = 2^3 \cdot z^3 $

Quindi $ z $ deve contenere i fattori 3 e 5, il caso "minimo" è 15 perciò andiamo a sostituire

$ z= 3 \cdot 5 $
$ 3^2 \cdot 5 \cdot xy^2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \Rightarrow xy^2 = 3 \cdot 5^2 \cdot 2^3 $

Si nota facilmente che a questo punto ci sono 3 soluzioni
1 $ x = 2 \cdot 3 $ e $ y = 2 \cdot 5 $
2 $ x = 2^3 \cdot 3 $ e $ y = 5 $
3 $ x = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 $ e $ y = 1 $

Tuttavia solo la 1 verifica la condizione $ xyz<1000 $

Quindi l'unica di interi positivi che verifica il sistema è $ \left ( 6,10,15 \right) $

mmm ok

rilancio: e se volessimo trovare TUTTE le terne di interi positivi che soddisfano quell'equazione?

Sia data l'equazione $ 45xy^2=8z^3, (x,y,z)\in (\mathbb{N}-\{0\})^3 $:

bestiedda ha scritto:rilancio: e se volessimo trovare TUTTE le terne di interi positivi che soddisfano quell'equazione?

piu che altro potresti chiedere "fissato $ z $, quante sono le soluzioni?"



##Bonus:Mostrate che se $ y $ non supera $ x $ allora $ z $ non supera $ \frac{10}{11}(x+y) $.

bestiedda ha scritto: rilancio: e se volessimo trovare TUTTE le terne di interi positivi che soddisfano quell'equazione?

sono riuscito a trovare infinite $ (x,y,z) $ che rispettano l'equazione.
ma non sono tutte.
$ 8z^3 $ è un cubo perfetto anche $ 45xy^2 $ è un cubo perfetto.
tutti i fattori di un cubo perfetto devono essere anchessi cubi.
$ xy^2 $ deve contenere per forza un fattore $ 3 $ e un $ 5^2 $.
inoltre $ 8z^3 $ è pari quindi $ xy^2 $ deve contenere anche un fattore $ 2^3n $.
quindi le triple che ho trovato sono
$ (x,y,z)=(3\cdot2^{3n},5,15 \cdot 2^{n-1}) $
forse su questa strada si possono trovare anche tutte le altre...

p.s. come si faceva il puntino delle moltiplicazioni?

gian92 ha scritto: quindi le triple che ho trovato sono
$ (x,y,z)=(3*2^{3n},5,15 * 2^{n-1}) $

non credo sia giusto perchè allora come ci rientra la soluzione $ \left (6,10,15\right) ? $

gian92 ha scritto:p.s. come si faceva il puntino delle moltiplicazioni?

\cdot

Alex90 ha scritto:

gian92 ha scritto:p.s. come si faceva il puntino delle moltiplicazioni?
\cdot

grazie!

Alex90 ha scritto:non credo sia giusto perchè allora come ci rientra la soluzione $ \left (6,10,15\right) ? $

gian92 ha scritto: ma non sono tutte.

si possono integrare le soluzioni con queste altre seguendo più o meno il ragionamento di prima e distribuendo $ 2^{3n} $tra $ x e y $
$ (x,y,z)=(3 \cdot 2^n, 5\cdot 2^n, 15\cdot 2^{n-1}) $
quest'ultima comprende anche la prima soluzione proposta...
suggerimenti per migliorare la dimostrazione?

gian92 ha scritto:si possono integrare le soluzioni con queste altre seguendo più o meno il ragionamento di prima e distribuendo $ 2^{3n} $tra $ x e y $
$ (x,y,z)=(3 \cdot 2^n, 5\cdot 2^n, 15\cdot 2^{n-1}) $
quest'ultima comprende anche la prima soluzione proposta...
suggerimenti per migliorare la dimostrazione?

Intanto scusa per l'errata correzione di prima

Comunque io credo che non si possa generalizzare fino a questo punto la formula e t dico perchè:

non puoi sapere come si distribuiscano i fattori tra x e y (vedi la mia prima risposta): ad uno stesso z ci sono 3 soluzioni in x e y

di niente
hai ragione però ricapitolando una generalizzazione di questo tipo si potrebbe fare:
tutte le soluzioni sono
$ (x,y,z)= (3\cdot 2^{3n},5,15\cdot 2^{n-1}) $
$ (x,y,z)= (3\cdot2^n, 5\cdot 2^n,15\cdot 2^{n-1}) $
$ (x,y,z)= (3\cdot2^{3n}\cdot 5^2,1, 15\cdot 2^{n-1}) $

Stavolta son completamente d'accordo

Riporto la vostra attenzione su questo thread perché mi sembra che vi siate fermati convincendovi senza dimostrazione di una cosa falsa. Non è vero che le terne di gian92 descrivono tutte le soluzioni.

nessuno ha una soluzione ??
dato che la è falsa qualcuno potrebbe illuminarmi sul perchè?
grazie

Perché ci sono un sacco di soluzioni che non sono di quella forma. Una a caso (26754, 173030, 165165)

dimenticato soprattutto di dire che se $ $(x,y,z)$ $ e' soluzione allora anche $ $(kx,ky,kz)$ $, $ $(k^3x,y,kz)$ $, $ $(k^6x,y,k^2z)$ $, $ $(k^4x,ky,k^2z)$ $, $ $(x,k^3y,k^2z)$ $, etc sono soluzioni
ha una marea di soluzione "indotte"