Successione per ricorrenza

[fede90]

Vi propongo un problema bellino, neanche troppo difficile:

Sia $ $(a_n)$ $ una successione definita per ricorrenza nel modo seguente:
$ $a_1=1$ $
$ $a_n=\Big(\frac{n+1}{n-1}\Big)(a_1+a_2+\dots+a_{n-1}), \quad n>1,\quad n\in\mathbb{N^+}$ $
Trovare una formula chiusa per $ \displaystile a_n $.

[stefanos]

Spero che $ \left(\frac{n+1}{n-1}\right) $ non sia il simbolo di Legendre

Notiamo che $ a_n \frac{n-1}{n+1} - a_{n-1} \frac{n-2}{n} = a_{n-1} $, e quindi $ a_n = \frac{2(n + 1)}{n} \cdot a_{n-1} $. Questa relazione porta facilmente alla formula $ a_n = 2^{n-2}(n+1) $.

Hai fatto anche tu cosi`?

[fede90]

Spero che $ \left(\frac{n+1}{n-1}\right) $ non sia il simbolo di Legendre

Notiamo che $ a_n \frac{n-1}{n+1} - a_{n-1} \frac{n-2}{n} = a_{n-1} $, e quindi $ a_n = \frac{2(n + 1)}{n} \cdot a_{n-1} $. Questa relazione porta facilmente alla formula $ a_n = 2^{n-2}(n+1) $.

Hai fatto anche tu cosi`?

Sì, volendo poi essere rigorosi si dimostra per induzione che effettivamente funziona. Per n=1 abbiamo $ $2^{-1}\cdot 2=1$ $, ok. Supponendo che $ a_n = 2^{n-2}(n+1) $, vogliamo dimostrare che $ a_{n+1} = 2^{n-1}(n+2) $. Dimostrazione: abbiamo $ a_{n+1} = \frac{2(n + 2)}{n+1} \cdot a_{n} $ e sostituendo a_n si ha $ a_{n+1} = 2\cdot\frac{n + 2}{n+1} \cdot 2^{n-2}(n+1)=2^{n-1}(n+2) $. CVD.

PS: non so nemmeno cosa sia il simbolo di Legendre

[stefanos]

Sì, volendo poi essere rigorosi si dimostra per induzione che effettivamente funziona.

Si`, e` chiaro, ma era la parte piu` facile .