[QEDMO 2005] n=a^2+ab+b^2

[EUCLA]

Provare che se $ n $ si può scrivere nella forma $ a^2+ab+b^2 $, dove $ a,b \in \mathbb{N} $, lo stesso si può fare con $ 7n $.


QEDMO 2005

[darkcrystal]

Beh, basta prendere la coppia $ \displaystyle \left( 2a-b, a+3b \right) $ e verificare che $ \displaystyle (2a-b)^2+(2a-b)(a+3b)+(a+3b)^2 = 7\left(a^2+ab+b^2\right) $... ma rendiamo l'esercizio più divertente: se m e n si scrivono entrambi in quella forma, anche mn si scrive così (il che peraltro implica la tesi, dal momento che $ 2^2+2 \cdot 1 + 1^2=7 $)

[String]

Beh, basta prendere la coppia $ \displaystyle \left( 2a-b, a+3b \right) $ e verificare che $ \displaystyle (2a-b)^2+(2a-b)(a+3b)+(a+3b)^2 = 7\left(a^2+ab+b^2\right) $

Scusa, ma non ho capito ciò che hai fatto... perchè prendere quella coppia?

[Jacobi]

Se $ m = a^2+ab+b^2 $e $ n=c^2+cd+d^2 $, allora una coppia che funziona e': $ (ac-bd, ad+bc-bd) $ ( d'altronde se $ n=7 $ricadiamo nel caso precedente )

Hint per ottenerla( chi e interessato a risolvere da solo l'esercizio non lo guardi xke dice praticamente tt): w e z le due radici terze dell'unita diverse da 1, allora a^2+ab+b^2 = (a-w b )(a - z b ), da cui: (a^2+ab+b^2)(c^2+cd+d^2)= [(a-w b )(c-wd )][(a - z b )(c - z d )], adesso sono solo calcoli[/tex]

[SkZ]

forse l'ha calcolata partendo dalla coppia (a,b) e cercando la coppia $ $(\alpha a+\beta b, \gamma a +\delta b)$ $ che dia un numero 7 volte l'altro.
si sta poco e vale la pena tentare

[darkcrystal]

Allora, scriviamo bene le cose:
Ipotesi: $ n $ è un naturale fissato; esistono $ (a,b) $ tali che $ n=a^2+ab+b^2 $.
Tesi: esistono $ (c,d) $ naturali tali che $ c^2+cd+d^2=7n $.
Dimostrazione: prendiamo $ c=2a-b, d=a+3b $ (supponendo wlog che sia $ a \geq b $).
Allora $ c^2+cd+d^2=(2a-b)^2+(2a-b)(a+3b)+(a+3b)^2= $$ 4a^2+b^2-4ab+2a^2+6ab-ab-3b^2+a^2+9b^2+6ab $
$ =7a^2+7ab+7b^2=7(a^2+ab+b^2)=7n $, c.v.d.
In altri termini: se esiste una rappresentazione di $ n $ nella forma giusta - e questa rappresentazione è (a,b) - esiste anche una rappresentazione di 7n, ed è (c,d) con il c ed il d trovati
Meglio?

P.S. Intanto che scrivevo ho fatto indietro per errore... perfetto per Jacobi, l'idea buona è esattamente quella!
P.P.S. Ora ho visto anche il messaggio di SkZ... in realtà che quella forma sia "quasi" la norma di un intero di Eisenstein dava un hintone per provare la strada segnalata da Jacobi... comunque si, immagino ci si metta poco anche con il tuo metodo!

[FrancescoVeneziano]

Perché dici che è "quasi" la norma? $ a^2+ab+b^2 $ è proprio la norma di $ a + \frac{1+\sqrt{-3}}{2}b\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] $ e questo naturalmente è una motivazione più profonda del perché una formula di moltiplicazione come quella che avete trovato deve esistere.

Fun fact: un primo dispari p è della forma $ a^2+ab+b^2 $ se e solo se -3 è un residuo quadratico modulo p

[darkcrystal]

Si, forse mi sono espresso male... intendevo dire che - posto $ \displaystyle \omega = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} $ - la norma di $ (a+b\omega) $ è $ \left(a - \frac12b \right)^2+\left(\frac{b\sqrt{3}}{2} \right)^2=a^2-ab+b^2 $... d'altra parte, per avere +ab è sufficiente considerare $ (a-\omega b) $, e per questo dicevo che è "quasi" la norma, intendendo che basta cambiare un segno... o sbaglio?

[FrancescoVeneziano]

Ok.
La norma è la funzione $ \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\to\mathbb{Q} $ che prende il prodotto dei coniugati. La forma quadratica che la rappresenta dipende naturalmente dalla base che scegli per $ \mathbb{Q}[\sqrt{-3}] $ su $ \mathbb{Q} $. Per cui $ a^2+ab+b^2 $ e $ a^2-ab+b^2 $ sono la norma del campo rispetto a basi diverse.