E' ultra facile, lasciatelo a chi ha poca esperienza
.Primi balcanici e facili
Primi balcanici e facili
Trovare tutti i numeri primi $ p,q,r $ tali che $ \displaystyle \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1 $.
E' ultra facile, lasciatelo a chi ha poca esperienza .
E' ultra facile, lasciatelo a chi ha poca esperienza
.Ok, ci provo.
Con alcuni passaggi ho
$ $\frac{p}{q}=1+\frac{4}{r+1}$ $
$ p(r+1)=q(r+5) $
Ora, se non mi sbaglio di grosso, essendo p e q dei primi ho due casi: $ p=q $ e $ r+1=r+5 $, che è assurdo; $ p=r+5 $ e $ q=r+1 $.
Dalla seconda condizione ho $ r=2 $, $ q=3 $ e $ p=7 $.
Spero di non aver sparato troppe eresie
Con alcuni passaggi ho
$ $\frac{p}{q}=1+\frac{4}{r+1}$ $
$ p(r+1)=q(r+5) $
Ora, se non mi sbaglio di grosso, essendo p e q dei primi ho due casi: $ p=q $ e $ r+1=r+5 $, che è assurdo; $ p=r+5 $ e $ q=r+1 $.
Dalla seconda condizione ho $ r=2 $, $ q=3 $ e $ p=7 $.
Spero di non aver sparato troppe eresie
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Questo sarebbe vero solo se fossero primi anche $ r+1 $ ed $ r+5 $ altrimenti basta che il loro rapporto sia uguale a quello dei primi (volendo che siano multipli di una stessa costante rispetto ai primi).essendo p e q dei primi ho due casi: $ p=q $ e $ r+1=r+5 $, che è assurdo; $ p=r+5 $ e $ q=r+1 $.
Ad esempio $ 3(7+1)=2(7+5) $ ma $ 3 \neq 7+5 $ e $ 2 \neq 7+1 $ ma 3,2 e 12,8 sono nello stesso rapporto.
Io ho fatto cosi`: se $ $r = 2$ $, troviamo facilmente la soluzione $ $(p,q,r)=(7,3,2)$ $. Supponiamo allora che $ $r$ $ sia dispari. Lavorando un po' con l'equazione data arriviamo a $ $(r+1)(r+5)=4q$ $, e poiche` i due fattori nel RHS sono pari, dividiamo ciascuno per $ $2$ $, e dividiamo per $ $4$ $ il RHS. Chiaramente, poiche` nel RHS rimane solo un primo, uno dei due fattori nel RHS deve essere uguale all'unita`: si vede immediatamente che deve essere $ $p-q=2$ $. Allora abbiamo la terna $ $(p,q,r)=(\frac{r+5}{2},\frac{r+1}{2},r)$ $. Osservando un po' di casi, viene il sospetto che l'unica altra soluzione accettabile sia $ $(5, 3, 5)$ $. Infatti, abbiamo subito che $ $r\equiv 1\pmod 4$ $, perche` altrimenti gli altri due primi sarebbero pari... Ora, sembra che $ $3$ $ divida sempre uno dei due "primi": dimostriamolo. Se $ $r\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 3\vert\frac{r+5}{2}$ $, e se $ $r\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 3\vert\frac{r+1}{2}$ $. Non penso che sia necessario dire perche` $ $r\not\equiv 0\pmod 3$ $..
E` corretto?
E` corretto?
Provo anch'io:
moltiplico entrambi i membri per q e ho:
$ $ p-\frac {4q}{r+1}=q $
quindi $ r+1 $ deve dividere $ 4q $ e l'unico caso possibile si ha se $ r+1=2q $. Si può avere però che $ r+1=q $ solo se r=2 e quindi $ q=3 $e $ p=7 $. Si nota a questo punto che o $ q\equiv 1 \pmod 3 $ e quindi anche $ r\equiv 1 \pmod 3 $ oppure che uno fra r e q è uguale a 3. Considero il primo caso e riscrivo l'equazione così:
$ p(r+1)=q(r+5) $
Il secondo membro è congruo a 0 $ \pmod 3 $ e per questo affinchè lo sia anche il secondo membro, si ha che p deve essere 3. Questo risultato però non funziona perchè p deve essere maggiore di q e l'unico primo <3 è 2 che è $ \equiv 2 \pmod 3 $ (ovviamente!)
Fra gli altri due casi, l'unico che funziona è quello in cui q=3 e quindi r=5 e p=5.
moltiplico entrambi i membri per q e ho:
$ $ p-\frac {4q}{r+1}=q $
quindi $ r+1 $ deve dividere $ 4q $ e l'unico caso possibile si ha se $ r+1=2q $. Si può avere però che $ r+1=q $ solo se r=2 e quindi $ q=3 $e $ p=7 $. Si nota a questo punto che o $ q\equiv 1 \pmod 3 $ e quindi anche $ r\equiv 1 \pmod 3 $ oppure che uno fra r e q è uguale a 3. Considero il primo caso e riscrivo l'equazione così:
$ p(r+1)=q(r+5) $
Il secondo membro è congruo a 0 $ \pmod 3 $ e per questo affinchè lo sia anche il secondo membro, si ha che p deve essere 3. Questo risultato però non funziona perchè p deve essere maggiore di q e l'unico primo <3 è 2 che è $ \equiv 2 \pmod 3 $ (ovviamente!)
Fra gli altri due casi, l'unico che funziona è quello in cui q=3 e quindi r=5 e p=5.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
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E perchè? RipensaciString ha scritto:Provo anch'io:
moltiplico entrambi i membri per q e ho:
$ $ p-\frac {4q}{r+1}=q $
quindi $ r+1 $ deve dividere $ 4q $ e l'unico caso possibile si ha se $ r+1=2q $.
Comunque le soluzioni son quelle che son state dette. C'era però un metodo più semplice, senza tante congruenze. Isolare $ p $ e scomporre l'altro membro. $ p $ è primo, dunque non può essere composto...
io l'ho pensata che essendo p e q primi, $ $\frac{p}{q}$ $ e' gia' ridotta ai minimi termini.
$ $\frac{p}{q}=\frac{r+5}{r+1}$ $
provato $ $r=2,3$ $, ho posto $ $r=6k\pm1$ $ con $ ~k>0 $
le considerazioni successive sono facili
$ $\frac{p}{q}=\frac{r+5}{r+1}$ $
provato $ $r=2,3$ $, ho posto $ $r=6k\pm1$ $ con $ ~k>0 $
le considerazioni successive sono facili
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Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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provo a scriverla completa:
tramite passaggi algebrici otteniamo $ $p(r+1)=q(r+5) $ : notiamo subito che $ $p>q $ perchè $ $r+1<r+5 $ : allora $ $p|r+5 $ e $ $q|r+1 $ . Poniamo $ $r+5=ap $ e $ $r+1=bq $ e sostituiamo nell'equazione di partenza. Otteniamo $ $pbq=qap $ , ovvero $ $a=b $ . Ora mettiamo a sistema le due relazioni: $ $\begin{cases} {r+5=ap}\\{r+1=aq}\\ \end{cases} $ ; sottraiamo la seconda dalla prima e otteniamo $ $4=ap-aq $==> $ $4=a(p-q) $. Dunque $ $a $ può essere 1,2,4. Ora per comodità riscriviamo l'equazione iniziale nella forma $ $(p-q)(r+1)=4q $ : per $ $a=1 $ abbiamo $ $p-q=4 $ , sostituiamo questo valore nell'equazione precedente e otteniamo che $ $r+1=q $ . Gli unici numeri primi successivi sono 3 e 2, dunque abbiamo $ $q=3 $e $ $p=2 $, e otteniamo la terna $ $(7,3,2) $ . Ora consideriamo il caso per cui $ $a=4 $ : sostituendo otteniamo che $ $p-q=1 $ : per la stessa ragione di prima otteniamo che $ $p=3 $ e $ $q=2 $ , e abbiamo la terna di soluzioni $ $(3,2,7) $ . Ora, prima di analizzare il caso per cui $ $a=2 $ è necessario fare un'osservazione : poniamo $ $r=3 $ : sostituendo otteniamo $ $4p=8q $ che ovviamente non ha soluzioni. Dunque abbiamo o che $ $r\equiv1(mod3) $ oppure che $ $r\equiv2(mod3) $ : nel primo caso avremmo $ $r+5 $multiplo di 3, e quindi $ $p=3 $ , nel secondo caso avremmo $ $r+1 $ multiplo di 3, e quindi $ $q=3 $ . Dunque o $ $p $ o $ $q $deve essere uguale a 3. Consideriamo ora il caso per cui $ $a=2 $ . Sostituendo otteniamo $ $p-q=2 $ : in questo caso $ $p $non può essere uguale a 3 perchè avremmo $ $q=1 $ mentre 1 non è primo. Dunque abbiamo $ $q=3 $, da cui $ $p=5 $ , e otteniamo la terna$ $(5,3,5) $
tramite passaggi algebrici otteniamo $ $p(r+1)=q(r+5) $ : notiamo subito che $ $p>q $ perchè $ $r+1<r+5 $ : allora $ $p|r+5 $ e $ $q|r+1 $ . Poniamo $ $r+5=ap $ e $ $r+1=bq $ e sostituiamo nell'equazione di partenza. Otteniamo $ $pbq=qap $ , ovvero $ $a=b $ . Ora mettiamo a sistema le due relazioni: $ $\begin{cases} {r+5=ap}\\{r+1=aq}\\ \end{cases} $ ; sottraiamo la seconda dalla prima e otteniamo $ $4=ap-aq $==> $ $4=a(p-q) $. Dunque $ $a $ può essere 1,2,4. Ora per comodità riscriviamo l'equazione iniziale nella forma $ $(p-q)(r+1)=4q $ : per $ $a=1 $ abbiamo $ $p-q=4 $ , sostituiamo questo valore nell'equazione precedente e otteniamo che $ $r+1=q $ . Gli unici numeri primi successivi sono 3 e 2, dunque abbiamo $ $q=3 $e $ $p=2 $, e otteniamo la terna $ $(7,3,2) $ . Ora consideriamo il caso per cui $ $a=4 $ : sostituendo otteniamo che $ $p-q=1 $ : per la stessa ragione di prima otteniamo che $ $p=3 $ e $ $q=2 $ , e abbiamo la terna di soluzioni $ $(3,2,7) $ . Ora, prima di analizzare il caso per cui $ $a=2 $ è necessario fare un'osservazione : poniamo $ $r=3 $ : sostituendo otteniamo $ $4p=8q $ che ovviamente non ha soluzioni. Dunque abbiamo o che $ $r\equiv1(mod3) $ oppure che $ $r\equiv2(mod3) $ : nel primo caso avremmo $ $r+5 $multiplo di 3, e quindi $ $p=3 $ , nel secondo caso avremmo $ $r+1 $ multiplo di 3, e quindi $ $q=3 $ . Dunque o $ $p $ o $ $q $deve essere uguale a 3. Consideriamo ora il caso per cui $ $a=2 $ . Sostituendo otteniamo $ $p-q=2 $ : in questo caso $ $p $non può essere uguale a 3 perchè avremmo $ $q=1 $ mentre 1 non è primo. Dunque abbiamo $ $q=3 $, da cui $ $p=5 $ , e otteniamo la terna$ $(5,3,5) $
marco
