buon lavoro
Cortona '97
Cortona '97
Per quali interi $ $a,b $ il numero $ $2^{2^a-b^2}+1997 $ risulta intero e primo?
buon lavoro
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marco
Ci provo...
Allora, 1997 è $ \equiv 2 \pmod 3 $ quindi la potenza di due deve essere $ \equiv 2 \pmod 3 $ Questa condizione è soddisfatta da tutte le potenze dipsari di 2 e per questo b deve essere dispari. A questo punto noto che queste potenze finiscono o con 2 o con 8. Perciò posso subito scartare tutte le potenze che finiscono in 8 perchè sommate a 1997 danno un numero che finisce con 5 che quindi non può essere un numero primo. I possibili valori della potenza di 2 sono ora 1,5,9... ovvero della forma 1+4k. Quindi
$ 2^a-b^2=1+4k $
Il secondo membro è $ \equiv 1 \pmod 4 $ mentre il primo è formato da una potenza di 2 che è sempre $ \equiv 0 \pmod 4 $ e da un quadrato dispari che invece è $ \equiv 1 \pmod 4 $. L'unico valore che soddisfa l'equazione si ha con $ 2^1 $ e con $ b=\pm 1 $ dato che è un quadrato. Si ha quindi
$ 2^{2^1-1}+1997=1999 $ che è lo stesso risultato che si ottiene assegnando ad $ $ a $e $ $ b $ il valore 0.
E' giusto?
Ma a questo punto come si fa ad essere certi che 1999 è primo?
Allora, 1997 è $ \equiv 2 \pmod 3 $ quindi la potenza di due deve essere $ \equiv 2 \pmod 3 $ Questa condizione è soddisfatta da tutte le potenze dipsari di 2 e per questo b deve essere dispari. A questo punto noto che queste potenze finiscono o con 2 o con 8. Perciò posso subito scartare tutte le potenze che finiscono in 8 perchè sommate a 1997 danno un numero che finisce con 5 che quindi non può essere un numero primo. I possibili valori della potenza di 2 sono ora 1,5,9... ovvero della forma 1+4k. Quindi
$ 2^a-b^2=1+4k $
Il secondo membro è $ \equiv 1 \pmod 4 $ mentre il primo è formato da una potenza di 2 che è sempre $ \equiv 0 \pmod 4 $ e da un quadrato dispari che invece è $ \equiv 1 \pmod 4 $. L'unico valore che soddisfa l'equazione si ha con $ 2^1 $ e con $ b=\pm 1 $ dato che è un quadrato. Si ha quindi
$ 2^{2^1-1}+1997=1999 $ che è lo stesso risultato che si ottiene assegnando ad $ $ a $e $ $ b $ il valore 0.
E' giusto?
Ma a questo punto come si fa ad essere certi che 1999 è primo?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
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g(n)
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- Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia
Beh, penso che in gara si possa dare per noto, anzi sicuramente. Anche perchè non è fondamentale per il problema (cioè sì, serve per dire che una soluzione effettivamente c'è, però non pregiudica tutto il resto)
Sul fatto di essere certi in gara che 1999 è primo lo si può fare a mano, non è eccessivamente lungo, ma penso che anche nel '97 in vista delle gare si fattorizzassero gli anni immediatamente precedenti e seguenti (o almeno io lo faccio, penso anche molti altri..)
Sul fatto di essere certi in gara che 1999 è primo lo si può fare a mano, non è eccessivamente lungo, ma penso che anche nel '97 in vista delle gare si fattorizzassero gli anni immediatamente precedenti e seguenti (o almeno io lo faccio, penso anche molti altri..)