Un test di matematica `e costituito da dieci quiz a risposta “s`ı” o “no”.
Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale −1, ogni risposta
omessa vale 0. Il test `e superato se si raggiunge un totale di 6.
(i) Qual `e la probabilit`a che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la
risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual `e la probabilit`a che, dando dieci risposte a caso, si superi il
test?
(iii) Qual `e la probabilit`a che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?
test di matematica...
Sbaglio o è uno dei problemi di ammissione alla Normale che hanno dato nell'anno 2006/2007 
?
Comunque ecco la mia soluzione:
i) Abbiamo ovviamente in totale $ \displaystyle 2^{10} = 1024 $ possibilità. I modi possibili di rispondere correttamente a 8 domande su 10 invece sono $ ${10\choose 8} = {10\choose 2} = 45$ $, perciò $ $p = \frac{45}{1024} \approx 4,4\%$ $.
ii) In questo caso le possibilità favorevoli sono $ ${10\choose 8} + {10\choose 9} + {10\choose 10} = {10\choose 2} + {10\choose 1} + {10\choose 0} = 56$ $ visto che con 7 giuste e 3 sbagliate oppure con 6 giuste e 4 sbagliate il test non si supera comunque. Perciò $ $p = \frac{56}{1024} \approx 5,5\%$ $.
iii) In quest'ultimo caso abbiamo $ \displaystyle 2^4 = 16 $ possibilità totali, visto che le risposte di 4 domande le conosciamo già mentre le altre due lasciate in bianco non danno punti. I casi favorevoli invece sono $ ${4\choose 3} + {4\choose 4} = {4\choose 1} + {4\choose 0} = 5$ $, infatti con meno di 3 domande corrette non si riesce a superare il test dato che le altre sbagliate levano punti e si va sotto il minimo punteggio richiesto. Di conseguenza $ $p = \frac{5}{16} \approx 31,3\%$ $.
Spero di aver fatto tutto giusto
! Ho però ancora un leggero dubbio sull'ultimo punto: infatti, fissate 4 domande di cui conosciamo già la risposta, abbiamo $ ${6\choose 4} = {6\choose 2} = 15$ $ modi di scegliere le 4 domande a cui rispondere tra le rimanenti 6. Tuttavia io non ho tenuto conto di questo nel mio ragionamento, perché è come se anche le 2 domande a cui non rispondi fossero "bloccate", e dunque non influiscono nel conteggio. O sbaglio 
? Qualcuno di voi potrebbe confermarmi o smentirmi ?
Ciao a tutti
!
Alessio
?Comunque ecco la mia soluzione:
i) Abbiamo ovviamente in totale $ \displaystyle 2^{10} = 1024 $ possibilità. I modi possibili di rispondere correttamente a 8 domande su 10 invece sono $ ${10\choose 8} = {10\choose 2} = 45$ $, perciò $ $p = \frac{45}{1024} \approx 4,4\%$ $.
ii) In questo caso le possibilità favorevoli sono $ ${10\choose 8} + {10\choose 9} + {10\choose 10} = {10\choose 2} + {10\choose 1} + {10\choose 0} = 56$ $ visto che con 7 giuste e 3 sbagliate oppure con 6 giuste e 4 sbagliate il test non si supera comunque. Perciò $ $p = \frac{56}{1024} \approx 5,5\%$ $.
iii) In quest'ultimo caso abbiamo $ \displaystyle 2^4 = 16 $ possibilità totali, visto che le risposte di 4 domande le conosciamo già mentre le altre due lasciate in bianco non danno punti. I casi favorevoli invece sono $ ${4\choose 3} + {4\choose 4} = {4\choose 1} + {4\choose 0} = 5$ $, infatti con meno di 3 domande corrette non si riesce a superare il test dato che le altre sbagliate levano punti e si va sotto il minimo punteggio richiesto. Di conseguenza $ $p = \frac{5}{16} \approx 31,3\%$ $.
Spero di aver fatto tutto giusto
! Ho però ancora un leggero dubbio sull'ultimo punto: infatti, fissate 4 domande di cui conosciamo già la risposta, abbiamo $ ${6\choose 4} = {6\choose 2} = 15$ $ modi di scegliere le 4 domande a cui rispondere tra le rimanenti 6. Tuttavia io non ho tenuto conto di questo nel mio ragionamento, perché è come se anche le 2 domande a cui non rispondi fossero "bloccate", e dunque non influiscono nel conteggio. O sbaglio ? Qualcuno di voi potrebbe confermarmi o smentirmi ?Ciao a tutti
!Alessio
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
OK grazie oli89 ma qualche gentile utente potrebbe lo stesso confermare il mio ragionamento nell'ultimo punto ?
?"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
-
exodd
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- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
anche se scegliessi "differenti quattro domande" la percentuale che hai calcolato sarebbe la stessa, quindi non ti crucciare più di tanto, dopotutto non sei tu che devi fare quel test (o forse sì? 
)
)Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Mah chi lo saexodd ha scritto:anche se scegliessi "differenti quattro domande" la percentuale che hai calcolato sarebbe la stessa, quindi non ti crucciare più di tanto, dopotutto non sei tu che devi fare quel test (o forse sì?
?! Comunque grazie exodd per la conferma !"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Mi è sorto un dubbio sul punto 2:
Non bisogna contare anche i casi in cui si danno 7 risposte esatte e 3 non date, 7 esatte, 2 non date e 1 sbagliata e 6 esatte e 4 non date?Algebert ha scritto: ii) In questo caso le possibilità favorevoli sono $ ${10\choose 8} + {10\choose 9} + {10\choose 10} = {10\choose 2} + {10\choose 1} + {10\choose 0} = 56$ $ visto che con 7 giuste e 3 sbagliate oppure con 6 giuste e 4 sbagliate il test non si supera comunque. Perciò $ $p = \frac{56}{1024} \approx 5,5\%$ $.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
Nel testo dice che bisogna dare dieci risposte a caso, quindi se le risposte bisogna darle nessuna può essere lasciata in bianco. O almeno così ho inteso io 
.
."[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."