OliForum Matematico

Un test di matematica `e costituito da dieci quiz a risposta “s`ı” o “no”.
Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale −1, ogni risposta
omessa vale 0. Il test `e superato se si raggiunge un totale di 6.
(i) Qual `e la probabilit`a che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la
risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual `e la probabilit`a che, dando dieci risposte a caso, si superi il
test?
(iii) Qual `e la probabilit`a che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?

Sbaglio o è uno dei problemi di ammissione alla Normale che hanno dato nell'anno 2006/2007 ?
Comunque ecco la mia soluzione:
i) Abbiamo ovviamente in totale $ \displaystyle 2^{10} = 1024 $ possibilità. I modi possibili di rispondere correttamente a 8 domande su 10 invece sono $ ${10\choose 8} = {10\choose 2} = 45$ $, perciò $ $p = \frac{45}{1024} \approx 4,4\%$ $.
ii) In questo caso le possibilità favorevoli sono $ ${10\choose 8} + {10\choose 9} + {10\choose 10} = {10\choose 2} + {10\choose 1} + {10\choose 0} = 56$ $ visto che con 7 giuste e 3 sbagliate oppure con 6 giuste e 4 sbagliate il test non si supera comunque. Perciò $ $p = \frac{56}{1024} \approx 5,5\%$ $.
iii) In quest'ultimo caso abbiamo $ \displaystyle 2^4 = 16 $ possibilità totali, visto che le risposte di 4 domande le conosciamo già mentre le altre due lasciate in bianco non danno punti. I casi favorevoli invece sono $ ${4\choose 3} + {4\choose 4} = {4\choose 1} + {4\choose 0} = 5$ $, infatti con meno di 3 domande corrette non si riesce a superare il test dato che le altre sbagliate levano punti e si va sotto il minimo punteggio richiesto. Di conseguenza $ $p = \frac{5}{16} \approx 31,3\%$ $.

Spero di aver fatto tutto giusto ! Ho però ancora un leggero dubbio sull'ultimo punto: infatti, fissate 4 domande di cui conosciamo già la risposta, abbiamo $ ${6\choose 4} = {6\choose 2} = 15$ $ modi di scegliere le 4 domande a cui rispondere tra le rimanenti 6. Tuttavia io non ho tenuto conto di questo nel mio ragionamento, perché è come se anche le 2 domande a cui non rispondi fossero "bloccate", e dunque non influiscono nel conteggio. O sbaglio ? Qualcuno di voi potrebbe confermarmi o smentirmi ?

Ciao a tutti !
Alessio

si è un problema della normale...
Il mio dubbio era proprio il terzo punto, ma credo proprio che la tua soluzione sia corretta.

grazie e ciao

OK grazie oli89 ma qualche gentile utente potrebbe lo stesso confermare il mio ragionamento nell'ultimo punto ?

anche se scegliessi "differenti quattro domande" la percentuale che hai calcolato sarebbe la stessa, quindi non ti crucciare più di tanto, dopotutto non sei tu che devi fare quel test (o forse sì? )

exodd ha scritto:anche se scegliessi "differenti quattro domande" la percentuale che hai calcolato sarebbe la stessa, quindi non ti crucciare più di tanto, dopotutto non sei tu che devi fare quel test (o forse sì? )

Mah chi lo sa ?! Comunque grazie exodd per la conferma !

Mi è sorto un dubbio sul punto 2:

Algebert ha scritto: ii) In questo caso le possibilità favorevoli sono $ ${10\choose 8} + {10\choose 9} + {10\choose 10} = {10\choose 2} + {10\choose 1} + {10\choose 0} = 56$ $ visto che con 7 giuste e 3 sbagliate oppure con 6 giuste e 4 sbagliate il test non si supera comunque. Perciò $ $p = \frac{56}{1024} \approx 5,5\%$ $.

Non bisogna contare anche i casi in cui si danno 7 risposte esatte e 3 non date, 7 esatte, 2 non date e 1 sbagliata e 6 esatte e 4 non date?

Nel testo dice che bisogna dare dieci risposte a caso, quindi se le risposte bisogna darle nessuna può essere lasciata in bianco. O almeno così ho inteso io .

Si, è vero, hai ragione